2.12. Методы расчета усилий в стержнях ферм

Фермой называют плоскую или пространственную конструкцию, составленную из стержней, соединенных между собой шарнирами, и служащая для восприятия внешних нагрузок и передачи их на опоры. Т очка, где стержни соединяются шарнирами, называется узлом. Нижняя часть фермы называется нижним поясом, а верхняя часть – верхним поясом (рис.2.37). Вертикальные стержни называются стойками, а наклонные – диагоналями (при наличии стоек) или раскосами. По определению, ферма должна обеспечивать неизменяемость ее формы (жесткость).

Первый шаг при расчете фермы - определение сил, возникающих в ее стержнях. В задачах статики предполагают, что по концам стержней расположены шарниры, цилиндрические или сферические. Это позволяет считать, что силы всегда направлены вдоль стержней.

Рассмотрим два метода расчета ферм.

М етод вырезания узлов. При расчете ферм вначале составляют уравнения равновесия для фермы в целом и определяют неизвестные опорные реакции. Для плоской фермы, показанной на рис. (2.38) - это

, поскольку в общем случае система сил, действующая на нее, - плоская произвольная. Все углы между смежными стержнями фермы считают известными.

П осле определения реакций выделяют узел, котором сходятся два стержня, например А (рис. 2.39). Силы и , действующие со стороны стержней на узел А, направляют вдоль стержня в ту или иную сторону. Полученный при решении отрицательный знак будет свидетельствовать о том, что истинное направление силы обратно выбранному. Для узла А составляют два уравнения равновесия, из которых определяют силы и .

З атем выделяют узел С, в котором сходятся стержни 1, 3 и 4 (см. рис. 2.40). Силы в двух последних стержнях подлежат определению. К узлу прикладывают силу (рис. 2.40), которая согласно аксиоме 4 равна силе по величине, но противоположна по направлению. Вновь составляют два уравнения равновесия, из которых находят силы и . Необходимо иметь в виду, что силы , , и - это силы, с которыми стержни действуют на узел. Силы действия узла на стержни обратные по направлению.

Следующим выделяемым узлом будет тот, в котором, сходятся стержни 2, 3, 5 и 6 (см. рис. 2.41). Неизвестны силы и и т. д.

К началу расчета последнего узла В силы и будут уже определены из рассмотрения предыдущих узлов. Поэтому уравнения равновесия для этого узла удовлетворяются тождественно и служат для проверки правильности расчетов.

Аналогичный метод применяют и при расчете пространственной простой фермы с тем отличием, что для каждого узла составляют три уравнения равновесия пространственных систем сходящихся сил.

Метод сечений (метод Риттера). Вначале, как и при расчете, способом вырезания узлов, рассматривая равновесие фермы в целом, определяют реакции опор . Затем разделяют ферму сечением, проходящим через три стержня, силы в которых подлежат определению. Отбрасывая одну часть фермы, действие ее на рассматриваемую часть заменяют силами, направленными вдоль стержней от узлов D и С (рис. 2.41). Составляют уравнения равновесия для плоской системы произвольно расположенных

сил, откуда определяют искомые силы, например , и .

З адача 2.7

В мостовой ферме, изображенной на рис. 2.48, узлы С, D и Е загружены одинаковой нагрузкой Р. Раскосы составляют углы 45° с горизонтом. Найти усилия в стержнях 1, 2, 3 и 4, вызываемые данной нагрузкой.

Решение. В силу симметрии фермы и нагрузки заключаем, что опорные реакции R_A и R_B равны между собой и составляют по половинке всей внешней нагрузки:

R_A = R_B = 3 P/2.

Проведем сквозное сечение 1-1 и рассмотрим равновесие правой части фермы. Принимая за моментную точку Е, можем записать:

∑М_Е = 0: N₁ a + R_B а = 0,

т.е. N₁. = - R_B = - 3 P/2.

Принимая за моментную точку Н, аналогично получим:

∑ М_H = 0: - N₃ a – Р а + R_B 2 а = 0,

откуда N₃ = 2Р.

Составим теперь для правой части фермы уравнение равновесия в виде равенства нулю суммы проекций всех сил на ось Y:

∑Y = 0: N₂ cos 45⁰ - P + R_B = 0;

найдём:

Для определения усилия в стойке 4 рассмотрим равновесие узла D. Составляя уравнение проекции сил, сходящихся в узле D, на ось Y, получим N₄ = P. Задача решена.