5. Статистичний аналіз рівняння регресії

Мета роботи: Навчитися перевіряти можливість використання розробленого рівняння регресії для прогнозування значень у в залежності від вхідної величини х.

Після того як коефіцієнти в рівнянні регресії знайдені, необхідно провести статистичний аналіз цього рівняння. Цей аналіз включає в себе перевірку значимості всіх коефіцієнтів регресії в порівнянні з помилкою відтворення та оцінку адекватності рівняння. Таке дослідження називається регресійним аналізом.

Алгоритм розрахунку

Перевірка Розрахунок Перевірка

є паралельні однорідності дисперсії значимості

досліди* дисперсій відтворення коефіцієнтів

Розрахунок

коефіцієнтів Перевірка

н емає паралельних рівняння адекватності

дослідів регресії рівняння

(залишкова дисперсія)

*Примітка. Кількість паралельних спостережень (m) на кожному рівні (n) однакова.

Пункти 1-3: перевірка однорідності дисперсій, розрахунок дисперсії відтворення та коефіцієнтів лінійного рівняння регресії проводиться аналогічно розглянутим в лабораторних роботах №2 та №4.

4. Оцінка значимості коефіцієнтів виконується за критерієм Ст’юдента:

де b_u – коефіцієнти рівняння регресії;

– середньоквадратичне відхилення u-го коефіцієнта.

У випадку лінійного рівняння регресії від одного фактора середньоквадратичні відхилення коефіцієнтів розраховуються за формулами:

Якщо t_u>t_t, то коефіцієнт значно відрізняється від нуля. Табличне значення критерію Ст’юдента (t_t) вибирається в залежності від вибраного рівня довірчої ймовірності р або рівня значимості α ( ) та числа ступенів свободи f=f_відтв= n·(m-1).

5. Адекватність рівняння перевіряється за критерієм Фішера:

де – дисперсія адекватності,

– дисперсія відтворення.

При однаковій кількості паралельних дослідів m дисперсія адекватності розраховується як:

де l – кількість значимих коефіцієнтів в рівнянні регресії.

Якщо F_р<F_m, то рівняння регресії адекватно експерименту. Табличне значення F_m визначають в залежності від прийнятого рівня значимості ( і числа ступенів свободи f₁=n-l і f₂=n·(m-1).

Примітка. При неадекватності рівняння регресії (у разі якщо дисперсії виявилися неоднорідні, і в якості дисперсії відтворення була прийнята максимальна дисперсія на рівнях), спробуйте виключити з розрахунку сумнівні результати спостережень та повторіть розрахунок.

5*. При відсутності паралельних дослідів і дисперсії відтворення якість апроксимації можна оцінити, порівнявши залишкову дисперсію S²_зал з дисперсією відносно середнього значення вихідної величини S²_у.

У цьому випадку критерій Фішера показує у скільки разів розсіяння відносно отриманого рівняння регресії зменшується в порівнянні з розсіянням відносно середнього. Чим більше розрахункове значення F_р перевищує табличне F_m, тим ефективнішим є рівняння регресії. Табличне значення F_m визначають в залежності від прийн

ятого рівня значимості ( і числа ступенів свободи f₁=n-1 і f₂=n-l.

Для розрахунку коефіцієнтів рівняння регресії b_i та розрахункових значень _і можна скористатися вбудованими функціями MathCAD аналогічно лабораторній роботі № 4:

Для пошуку коефіцієнтів рівняння регресії:

де N - ступінь поліному (для лінійного рівняння регресії N=1). При N>1 коефіцієнти b_i відповідають коефіцієнтам більш складних нелінійних рівнянь регресії.

Для знаходження розрахункових значень:

Увага – х та у – вектори даних.

Для пошуку критеріїв Ст’юдента та Фішера, відповідно:

при наявності паралельних спостережень

при відсутності паралельних спостережень

Завдання. Була проведена серія експериментів по дослідженню впливу вогнетривкої глини в масі на міцність керамічного матеріалу (табл. 14). Проаналізуйте експериментальні дані та дайте відповіді на питання:

• Чи є сумнівні результати в експерименті? Чому Ви так вважаєте?

• Який вигляд має лінійна математична модель? Чи можна її використовувати?

• Надайте графічне зображення рішення задачі.

• Сформулюйте висновок щодо використання запропонованої моделі.

Таблиця 14 - Міцність керамічного матеріалу (у) в залежності від вмісту в масі вогнетривкої глини (х)

Вар	х,мас.%	у,МПа			Вар	х,мас.%	у,МПа
1	1	45	46	43	16	3	34	33	33
	14	77	76	77		5	42	41	43
	3	49	51	49		12	67	66	68
	7	55	56	54	17	15	70	72	72
2	2	35	33	33		10	65	64	63
	14	89	87	87		5	41	39	38
	5	56	55	55		2	31	30	32
3	9	65	64	66		17	74	74	76
	13	83	82	84		6	39	42	42
	5	45	44	43	18	4	34	33	35
	17	92	90	91		8	46	47	48
	23	99	98	97		12	62	61	62
4	3	25	22	23	19	2	21	22	21
	6	35	35	34		4	27	28	29
	9	48	49	46		8	42	40	41
	12	66	66	68		10	56	57	58
	14	75	76	75		15	85	83	85
	19	89	88	87	20	20	96	95	97
5	7	56	57	57		15	61	59	60
	13	73	72	74		10	47	49	48
	17	78	79	77		5	35	36	33
6	1	11	10	9	21	8	16	17	18
	2	12	11	11		16	45	46	45
	5	23	25	24		22	54	53	55
	7	32	32	33	22	2	12	13	12
	13	45	47	46		4	15	14	15
7	4	23	24	25		6	21	22	23
	8	45	46	47		8	34	33	35
	12	65	63	66		10	51	50	49
8	2	5	6	4	23	3	12	12	10
	6	9	10	8		5	23	24	23
	8	13	15	14		7	33	34	35
	10	23	22	21	24	12	24	25	26
9	1	5	4	3		15	32	31	30
	4	12	14	12		2	2	3	2
	8	23	25	24		8	11	10	11
	17	46	48	47		21	56	58	57
10	1	2	3	2	25	5	23	21	22
	3	3	3	4		10	45	46	47
	5	6	8	7		15	52	51	52
	17	24	25	26	26	2	5	6	6
11	3	6	5	6		4	7	8	9
	6	11	12	13		6	11	10	9
	9	15	14	16		8	23	25	24
	12	21	23	22		10	37	39	38
12	4	5	5	7	27	1	1	1	3
	8	12	14	13		4	3	5	4
	10	24	26	25		8	9	10	11
	13	27	29	27		16	23	25	24
13	1	2	3	3	28	24	89	88	87
	6	15	16	7		12	56	55	56
	12	35	34	33		6	23	25	24
14	2	4	5	3	29	4	6	7	6
	5	6	8	7		6	11	11	10
	10	13	14	13		8	22	25	23
	21	23	24	22		15	45	46	45
15	3	4	4	5		26	76	76	78
	5	7	9	8	30	17	43	45	42
	7	13	14	13		23	67	68	67
	13	26	28	27		12	35	36	35
	17	35	37	36		7	12	11	11