Метод множинної кореляції
Мета роботи: навчитися аналізувати експериментальні дані для встановлення наявності або відсутності лінійної залежності між вихідним параметром (у) та декількома факторами (хj).
Якщо необхідно встановити кореляційний зв’язок між вихідним параметром (y) і декількома факторами (xi), то для цього використовують рівняння множинної регресії:
Маємо за результатами експериментів деяку матрицю спостережень подану у вигляді наступної табл. 12.
Таблиця 12 – Експериментальна вибірка
Номер досліду |
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xk |
y |
1 2 3 . . . n |
x11 x21 x31 . . . xn1 |
x12 x22 x32 . . . xn2 |
x13 x23 x33 . . . xn3 |
… … … . . . … |
x1k x2k X3k . . . xnk |
y1 y2 y3 . . . yn |
Алгоритм розрахунку:
Знаходимо середні значення вхідних та вихідних змінних:
де і..n– рядки;
j..k – стовпчики;
Знаходимо середньоквадратичні відхилення:
Нормуємо змінні:
Записуємо таблицю з нормованими значеннями мінливих:
-
Номер
досліду
…
1
…
2
…
3
…
…
…
…
…
…
…
…
n
…
В новому масштабі маємо:
і 
Знаходимо коефіцієнти кореляції між нормованими значеннями
та
,
а також всіх можливих взаємодій
.
l, m=1,2,.....,k l ≠ m
Слід зауважити, що нормування змінних не впливає на значення коефіцієнтів кореляції, тому:
Рівняння регресії з нормованими мінливими приймає наступний вигляд:
Для визначення коефіцієнтів в рівнянні регресії складаємо систему рівнянь:
Розраховуємо коефіцієнт множинної кореляції (R) :
Від рівняння регресії з нормованими змінними можна перейти до рівняння зі змінними в натуральному масштабі за формулами:
Знаходження розрахункових значень уri:
Варіанти розрахунків:
Перший.
Для визначення коефіцієнтів в рівнянні регресії в MathCad є спеціальний обчислювальний блок, що має наступний вигляд:
Given
Система рівнянь для знаходження коефіцієнтів aj
Find (а1, а2, …аk) – вбудована функція для рішення системи щодо змінних а1, а2, …аk
Цей блок використовує для пошуку рішення ітераційні методи, тому потрібно задати початкові значення для всіх а1, а2, …аk (наприклад а1:=1 і т.ін.). Зробити це необхідно до ключового слова Given.
Після знаходження коефіцієнтів aj визначення коефіцієнтів в натуральному масштабі bj та розрахункових значень уri відбувається відповідно до алгоритму розрахунку.
Другий.
Пошук коефіцієнтів рівняння регресії bj відбувається за допомогою вбудованих функцій regress:
b:=regress(x,y,N)
та розрахункових значень уri за допомогою функції interp:
Увага – х – матриця даних, яка містить стовпчики з заданими факторами (наприклад склад кераміки з 3 оксидів – матриця з 3 стовпчиками).
у – вектор даних
s1, s2 та s3 – службові змінні для запису функції, вказують скільки факторів є в функції (в нашому прикладі 3)
N – степінь поліному (для лінійного рівняння регресії N =1)
Третій.
Пошук коефіцієнтів рівняння регресії bj та розрахункових значень уri відбувається за допомогою матричних обчислень:
yr:=x·b
Слід зауважити, що значення коефіцієнтів рівняння регресії bj в залежності від виду їх розрахунку будуть змінюватися, але характер впливу факторів у порівнянні між собою на значення уri залишається тим самим. Отримані значення уri не залежать від обраного способу розрахунку.
Завдання: Провести аналіз експериментальних даних (табл. 13), дати відповідь на питання:
Чи існує лінійна залежність між складом силікатних стекол (склокераміки) та їх властивостями? Обґрунтуйте відповідь.
Застосуйте 3 способи розрахунку. Який вигляд мають математичні моделі?
Охарактеризуйте вплив кожного фактора.
Надайте графічне зображення результату.
Сформулюйте висновок щодо використання розроблених математичних моделей.
Таблиця 13 – Експериментальні дані до завдання
Варіант |
Склад скла (склокераміки), мас.% |
Властивість |
||
1 |
SiO2 |
B2O3 |
BaO |
α·107, град-1 |
60 |
10 |
30 |
103,4 |
|
65 |
5 |
30 |
105,8 |
|
70 |
15 |
15 |
96,7 |
|
63 |
8 |
29 |
100,6 |
|
67 |
11 |
22 |
94,2 |
|
2 |
SiO2 |
B2O3 |
BaO |
d, г/см3 |
58 |
12 |
30 |
3,12 |
|
60 |
5 |
35 |
3,18 |
|
65 |
20 |
15 |
3,03 |
|
63 |
8 |
29 |
3,10 |
|
69 |
9 |
22 |
3,30 |
|
3 |
SiO2 |
MgO |
BaO |
α·107, град-1 |
72 |
9 |
19 |
92 |
|
75 |
5 |
20 |
104 |
|
81 |
4 |
15 |
80 |
|
85 |
7 |
8 |
61 |
|
70 |
15 |
15 |
84 |
|
4 |
SiO2 |
MgO |
BaO |
d, г/см3 |
70 |
11 |
19 |
2,93 |
|
75 |
5 |
20 |
3,02 |
|
80 |
4 |
16 |
3,14 |
|
85 |
8 |
7 |
2,89 |
|
73 |
12 |
15 |
3,28 |
|
5 |
SiO2 |
ZnO |
BaO |
α·107, град-1 |
70 |
10 |
20 |
74,04 |
|
60 |
30 |
10 |
46,59 |
|
65 |
15 |
20 |
67,02 |
|
75 |
20 |
5 |
82,9 |
|
55 |
30 |
15 |
52,4 |
|
6 |
SiO2 |
ZnO |
BaO |
d, г/см3 |
70 |
10 |
20 |
2,88 |
|
60 |
5 |
35 |
3,24 |
|
62 |
12 |
26 |
3,32 |
|
75 |
20 |
5 |
2,96 |
|
55 |
30 |
15 |
3,02 |
|
7 |
Скло |
Глинозем |
Каолін |
α·107, град-1 |
85 |
10 |
5 |
41,0 |
|
80 |
16 |
4 |
32,8 |
|
72 |
8 |
20 |
46,1 |
|
63 |
12 |
25 |
48,5 |
|
50 |
23 |
27 |
49,5 |
|
8 |
Скло |
Глинозем |
Каолін |
d, г/см3 |
83 |
7 |
10 |
3,33 |
|
80 |
16 |
4 |
2,26 |
|
70 |
10 |
20 |
2,21 |
|
65 |
5 |
30 |
1,80 |
|
50 |
25 |
25 |
1,65 |
|
9 |
Скло |
Глинозем |
Каолін |
П, % |
70 |
20 |
10 |
3,2 |
|
60 |
10 |
30 |
4,5 |
|
50 |
25 |
25 |
16,5 |
|
47 |
23 |
30 |
0,0 |
|
40 |
55 |
5 |
9,6 |
|
10 |
Скло |
Глинозем |
Каолін |
lgρv, Ом·см |
65 |
25 |
10 |
12,0 |
|
60 |
15 |
25 |
11,3 |
|
50 |
20 |
30 |
9,4 |
|
49 |
24 |
27 |
9,2 |
|
40 |
45 |
15 |
9,8 |
|
11 |
SiO2 |
CaO |
Na2O |
α·107, град-1 |
71 |
11 |
18 |
93 |
|
75 |
5 |
20 |
100 |
|
80 |
6 |
14 |
80 |
|
83 |
7 |
10 |
65 |
|
70 |
15 |
15 |
85 |
|
12 |
SiO2 |
CaO |
Na2O |
d, г/см3 |
70 |
12 |
18 |
2,18 |
|
74 |
6 |
20 |
2,13 |
|
80 |
5 |
15 |
2,22 |
|
80 |
10 |
10 |
2,35 |
|
60 |
15 |
25 |
2,51 |
|
13 |
SiO2 |
MgO |
Al2O3 |
α·107, град-1 |
40 |
30 |
30 |
109 |
|
50 |
25 |
25 |
103 |
|
60 |
20 |
20 |
107 |
|
70 |
15 |
15 |
115 |
|
80 |
10 |
10 |
121 |
|
14 |
SiO2 |
MgO |
Al2O3 |
d, г/см3 |
39 |
30 |
31 |
3,04 |
|
51 |
24 |
25 |
3,13 |
|
60 |
18 |
22 |
3,25 |
|
68 |
16 |
16 |
3,30 |
|
75 |
20 |
5 |
3,03 |
|
15 |
SiO2 |
ZnO |
BaO |
П, % |
60 |
30 |
10 |
0,0 |
|
60 |
20 |
20 |
2,0 |
|
70 |
15 |
15 |
2,8 |
|
80 |
10 |
10 |
3,2 |
|
50 |
25 |
25 |
1,6 |
|
16 |
SiO2 |
В2O3 |
BaO |
В, % |
60 |
10 |
30 |
0,0 |
|
60 |
20 |
20 |
14,2 |
|
50 |
25 |
25 |
13,4 |
|
60 |
30 |
10 |
15,1 |
|
70 |
15 |
15 |
16,0 |
|
17 |
Скло |
Глинозем |
Каолін |
σизг, Мпа |
25 |
25 |
50 |
100,0 |
|
25 |
50 |
25 |
93,4 |
|
50 |
30 |
20 |
98,1 |
|
60 |
20 |
20 |
102,3 |
|
70 |
15 |
15 |
101,0 |
|
18 |
SiO2 |
Al2O3 |
Li2O |
σизг, Мпа |
20 |
40 |
40 |
150,8 |
|
25 |
25 |
50 |
141,1 |
|
10 |
30 |
60 |
160,3 |
|
20 |
20 |
60 |
170,2 |
|
15 |
15 |
70 |
184,0 |
|
19 |
SiO2 |
Al2O3 |
BaO |
α·107, град-1 |
60 |
20 |
20 |
34,5 |
|
60 |
10 |
30 |
37,1 |
|
50 |
25 |
25 |
33,2 |
|
80 |
10 |
10 |
30,0 |
|
70 |
5 |
25 |
25,6 |
|
20 |
SiO2 |
Al2O3 |
BaO |
lgρv, Ом·см |
60 |
20 |
20 |
10,2 |
|
60 |
10 |
30 |
9,1 |
|
50 |
25 |
25 |
9,1 |
|
80 |
10 |
10 |
10,6 |
|
70 |
5 |
25 |
8,3 |
|
21 |
SiO2 |
Al2O3 |
Li2O |
α·107, град-1 |
40 |
40 |
20 |
43,2 |
|
50 |
25 |
25 |
5,3 |
|
60 |
30 |
10 |
10,4 |
|
60 |
20 |
20 |
9,8 |
|
70 |
15 |
15 |
30,5 |
|
22 |
SiO2 |
ZnO |
BaO |
П, % |
65 |
25 |
10 |
3,8 |
|
60 |
10 |
30 |
2,0 |
|
70 |
15 |
15 |
1,8 |
|
80 |
5 |
10 |
0,2 |
|
50 |
25 |
25 |
1,6 |
|
23 |
SiO2 |
В2O3 |
BaO |
В, % |
60 |
10 |
30 |
10,0 |
|
65 |
15 |
20 |
4,2 |
|
50 |
25 |
25 |
1,4 |
|
60 |
20 |
20 |
5,1 |
|
70 |
15 |
15 |
16,0 |
|
24 |
скло |
Глинозем |
Каолін |
σизг, Мпа |
35 |
15 |
50 |
90,0 |
|
25 |
50 |
25 |
83,4 |
|
50 |
25 |
25 |
78,6 |
|
60 |
20 |
20 |
100,3 |
|
70 |
15 |
15 |
111,8 |
|
25 |
SiO2 |
Al2O3 |
Li2O |
α·107, град-1 |
45 |
35 |
20 |
13,2 |
|
50 |
15 |
35 |
5,3 |
|
65 |
30 |
15 |
10,4 |
|
60 |
20 |
20 |
9,8 |
|
70 |
15 |
15 |
8,5 |
|
26 |
скло |
Глинозем |
Каолін |
α·107, град-1 |
85 |
10 |
5 |
31,0 |
|
80 |
16 |
4 |
32,8 |
|
70 |
10 |
20 |
36,4 |
|
63 |
12 |
25 |
38,9 |
|
50 |
23 |
27 |
43,5 |
|
27 |
скло |
Глинозем |
Каолін |
d, г/см3 |
85 |
5 |
10 |
2,33 |
|
80 |
16 |
4 |
2,26 |
|
75 |
10 |
15 |
2,20 |
|
65 |
5 |
30 |
1,84 |
|
50 |
25 |
25 |
1,78 |
|
28 |
скло |
Глинозем |
Каолін |
П, % |
70 |
20 |
10 |
3,2 |
|
60 |
10 |
30 |
5,5 |
|
55 |
20 |
25 |
6,7 |
|
47 |
23 |
30 |
0,0 |
|
40 |
55 |
5 |
9,7 |
|
29 |
скло |
Глинозем |
Каолін |
lgρv, Ом·см |
65 |
35 |
5 |
12,3 |
|
60 |
15 |
25 |
11,0 |
|
50 |
25 |
25 |
9,7 |
|
45 |
20 |
15 |
9,2 |
|
40 |
45 |
15 |
10,8 |
|
30 |
SiO2 |
CaO |
Na2O |
α·107, град-1 |
71 |
11 |
18 |
93,9 |
|
65 |
15 |
20 |
104,3 |
|
80 |
6 |
14 |
83,9 |
|
85 |
5 |
10 |
65,6 |
|
70 |
15 |
15 |
85,2 |
|