Кореляційний аналіз.
ЛІНІЙНЕ РІВНЯННЯ РЕГРЕСІЇ ВІД ОДНОГО ФАКТОРУ
Мета роботи: навчитися аналізувати експериментальні дані для встановлення наявності або відсутності лінійної залежності між вхідною та вихідною величинами.
Якщо при зміні величини x змінюється розподіл значень величини y, то між ними існує кореляційний зв’язок. Під терміном кореляція в математичній статистиці розуміють залежність між величинами, яка немає чіткого функціонального характеру.
Для
кількісної оцінки міцності зв’язку
між змінними використовують вибірковий
коефіцієнт кореляції
(
).
Вибірковий
коефіцієнт кореляції, також як і
коефіцієнт кореляції генеральної
сукупності (
)
за абсолютною величиною не перевищує
одиниці, тобто
.Чим
більший
,
тим сильніший кореляційний зв’язок
між x
і
y,
який при
наближається до функціональної лінійної
залежності.
Для характеристики форми зв’язку (виду рівняння) між змінними використовують рівняння наближеної регресії.
Вид рівняння регресії вибирається шляхом експериментального підбору. Найчастіше прагнуть отримати лінійне рівняння, як таке що є найбільш простим.
Алгоритм розрахунку.
Розраховуємо коефіцієнт кореляції:
Зробити
висновок о вигляді залежності. Приймаємо,
що залежність носить досить сильний
лінійний характер, якщо
,
при
- лінійний зв'язок характеризується
середньою силою, інакше – нелінійний
або відсутній взагалі. Якщо зв'язок має
лінійний характер, то є доцільним
розробити лінійне рівняння регресії
виду:
Визначаємо коефіцієнт b1 в рівнянні регресії:
.
Визначаємо b0:
.
В MathCad є низка вбудованих функцій для вищевикладених розрахунків (табл. 10).
Таблиця 10 – Деякі вбудовані функції MathCad
Позначення |
Призначення |
corr(x,y) або corr(у,х) |
коефіцієнт кореляції між х та y |
b0:=intercept(x,y) b1:=slope(x,y) |
коефіцієнти
рівняння регресії
|
Увага - х та y - вектори вхідних та вихідних даних.
Завдання: Проведено 9 вимірів (табл.11) по встановленню впливу вмісту BaO на поруватість цельзіанової склокераміки. Провести аналіз експериментальних даних та:
оцінити силу лінійного зв’язку між вмістом ВаО в склокераміки та її поруватістю;
запропонувати лінійну математичну модель для розрахунку поруватості цельзіанової склокераміки в залежності від вмісту в її складі ВаО;
графічно зобразити поле кореляції та математичну модель;
зробити висновок про вигляд залежності між поруватістю цельзіанової склокераміки та вмістом в її складі ВаО.
Таблиця 11 – Результати визначення поруватості цельзіанової склокераміки
№ варіанту |
Вміст ВаО, мас.% |
||||||||
20 |
22 |
24 |
26 |
28 |
30 |
32 |
34 |
36 |
|
1 |
24,5 |
25,7 |
23,5 |
20,0 |
15,5 |
10,0 |
5,0 |
6,7 |
9,3 |
2 |
15,3 |
16,8 |
20,0 |
19,3 |
18,4 |
10,0 |
3,4 |
8,8 |
10,0 |
3 |
13,4 |
19,8 |
18,7 |
3,4 |
10,5 |
11,1 |
15,7 |
21,1 |
27,7 |
4 |
2,5 |
2,7 |
2,5 |
2,0 |
1,5 |
1,0 |
5,0 |
1,7 |
1,3 |
5 |
35,3 |
36,8 |
27,8 |
29,3 |
38,4 |
20,8 |
23,4 |
38,8 |
30,2 |
6 |
43,7 |
49,8 |
48,7 |
53,4 |
50,5 |
51,1 |
45,7 |
41,1 |
37,0 |
7 |
14,5 |
25,7 |
13,5 |
20,0 |
15,5 |
12,3 |
5,7 |
8,9 |
9,3 |
8 |
5,3 |
6,8 |
2,0 |
9,3 |
8,4 |
1,0 |
3,4 |
4,8 |
7,5 |
9 |
20,4 |
19,8 |
18,7 |
25,4 |
9,5 |
9,1 |
20,7 |
31,1 |
37,6 |
10 |
14,5 |
15,7 |
13,5 |
0,0 |
1,5 |
13,0 |
15,0 |
16,7 |
19,3 |
11 |
25,9 |
26,3 |
30,3 |
39,3 |
48,4 |
40,0 |
34,2 |
28,8 |
30,0 |
12 |
40,2 |
29,8 |
28,6 |
13,4 |
5,0 |
11,1 |
19,7 |
17,1 |
16,8 |
13 |
4,8 |
15,6 |
13,5 |
10,0 |
16,1 |
9,6 |
5,0 |
6,7 |
9,3 |
14 |
45,3 |
46,8 |
50,0 |
39,3 |
38,4 |
20,0 |
34,7 |
38,2 |
22,4 |
15 |
9,4 |
9,8 |
8,7 |
3,4 |
7,5 |
6,1 |
5,7 |
1,1 |
2,7 |
16 |
4,6 |
5,1 |
3,3 |
0,0 |
5,5 |
1,0 |
5,6 |
6,7 |
6,3 |
17 |
22,3 |
21,6 |
21,1 |
19,7 |
19,4 |
17,0 |
13,4 |
8,8 |
6,0 |
18 |
13,4 |
9,8 |
18,7 |
23,4 |
20,5 |
21,1 |
35,7 |
31,1 |
7,7 |
19 |
4,6 |
11,7 |
18,5 |
10,2 |
11,5 |
13,0 |
15,7 |
17,7 |
12,3 |
20 |
35,0 |
26,8 |
24,4 |
23,9 |
22,4 |
21,0 |
13,4 |
10,8 |
4,3 |
21 |
12,4 |
24,8 |
8,7 |
13,2 |
14,5 |
14,1 |
15,7 |
20,1 |
22,7 |
22 |
44,5 |
45,7 |
43,5 |
30,0 |
25,5 |
20,0 |
15,0 |
6,7 |
2,3 |
23 |
15,3 |
16,8 |
20,0 |
19,3 |
18,4 |
10,0 |
3,4 |
8,8 |
10,0 |
24 |
13,6 |
9,8 |
8,7 |
13,4 |
21,5 |
14,0 |
15,9 |
18,1 |
17,6 |
25 |
5,5 |
5,7 |
5,5 |
6,0 |
7,5 |
8,0 |
7,7 |
6,7 |
9,3 |
26 |
3,3 |
1,8 |
2,0 |
9,3 |
8,4 |
10,0 |
13,4 |
4,8 |
1,0 |
27 |
14,3 |
19,8 |
18,7 |
23,4 |
20,5 |
21,1 |
22,7 |
21,1 |
25,6 |
28 |
2,8 |
5,9 |
3,3 |
2,0 |
1,5 |
1,0 |
0,0 |
0,7 |
0,9 |
29 |
0,3 |
0,8 |
0,9 |
1,3 |
1,8 |
2,3 |
3,4 |
0,8 |
0,0 |
30 |
43,4 |
49,8 |
48,7 |
43,4 |
40,5 |
41,1 |
45,7 |
41,1 |
47,7 |