2. Однофакторний дисперсійний аналіз
Мета роботи: навчитися встановлювати наявність або відсутність впливу фактору на випадкову величину.
Суть дисперсійного аналізу полягає у виділенні та оцінці окремих факторів, які в найбільшій мірі викликають зміну дослідної випадкової величини.
Алгоритм розрахунку:
Знаходимо середнє значення на кожному n рівні:
де і..n – рядки (рівні фактору);
j..m – стовпчики (паралельні досліди)
Знаходимо дисперсії на кожному рівні:
Оцінюємо однорідність дисперсії за критерієм Кохрена:
Якщо Gp менше табличного значення критерію Кохрена Gt, то дисперсії на кожному рівні фактора вважаються однорідними.
Табличне
значення критерію Кохрена визначається
в залежності від числа дисперсій (n),
які складаються, від числа ступенів
свободи f,
з якими визначена кожна дисперсія
(f=m-1),
і від заданого рівня значимості (
)
або
довірчої ймовірності (
)
(додаток 2).
Якщо дисперсії однорідні, то дисперсія відтворення дорівнює:
Якщо дисперсії неоднорідні, то дисперсія відтворення дорівнює:
Знаходимо середнє значення фактору за усім об’ємом вибірки:
Знаходимо дисперсію фактору А:
Оцінюємо значимість впливу фактору А за критерієм Фішера:
Табличне значення критерію Фішера (Fт) визначається в залежності від числа ступенів свободи для дисперсій f1=n-1 і f2=n(m-1) (додаток 3).
Вплив
фактора А
вважається значимим, якщо
.
В MathCad є вбудовані функції max(Z), min(Z) для знаходження, відповідно, максимального та мінімального значення вибірки Z. Ними можна скористатися при пошуку максимального значення дисперсії на рівнях - max(S).
Завдання 1: При дослідженні залежності температури початку розм’якшення силікатних стекол від вмісту в їх складі SiO2 одержані дані, які наведені в табл. 4. Для кожного скла з постійним вмістом SiO2 температура початку розм’якшення визначалась за трьома паралельними дослідами. Виконати дисперсійний аналіз експериментальних даних та дати відповідь на запитання: Чи значимо впливає вміст SiO2 в складі стекол на їх температуру початку розм’якшення?
Завдання 2: В результаті дослідження залежності міцності на стиск глиняної цегли від вмісту шамоту в керамічній масі одержані експериментальні дані, які наведені в табл. 5. Межа міцності цегли на стиск визначалась для кожного складу за трьома паралельними дослідами. Виконати дисперсійний аналіз експериментальних даних та дати відповідь на запитання: Чи значимо впливає вміст шамоту в керамічній масі на міцність на стиск глиняної цегли?
Таблиця 4 – Експериментальні значення температури початку розм’якшення силікатних стекол (до завдання 1)
№ варіанту |
Номер досліду |
Вміст SiO2, % |
||||
87,0 |
82,0 |
77,0 |
72,0 |
67,0 |
||
1 |
1 2 3 |
810 760 786 |
720 720 700 |
630 660 680 |
620 600 610 |
580 600 595 |
2 |
1 2 3 |
751 802 773 |
720 715 735 |
650 635 666 |
612 615 620 |
520 550 516 |
3 |
1 2 3 |
795 778 760 |
720 780 750 |
700 710 680 |
600 615 625 |
585 577 590 |
4 |
1 2 3 |
805 799 767 |
745 740 800 |
695 685 650 |
600 603 629 |
550 535 549 |
5 |
1 2 3 |
700 714 735 |
700 708 695 |
650 660 630 |
608 595 615 |
560 578 564 |
6 |
1 2 3 |
713 795 800 |
685 693 704 |
650 659 648 |
573 580 595 |
550 540 512 |
7 |
1 2 3 |
820 830 845 |
803 812 806 |
778 793 777 |
695 699 667 |
650 634 640 |
8 |
1 2 3 |
650 645 515 |
710 698 703 |
725 715 748 |
700 705 708 |
677 590 680 |
9 |
1 2 3 |
828 840 865 |
855 820 801 |
799 787 769 |
755 747 732 |
670 659 645 |
10 |
1 2 3 |
798 805 760 |
678 690 703 |
800 790 807 |
635 625 620 |
598 580 576 |
11 |
1 2 3 |
600 579 550 |
830 815 843 |
768 750 740 |
600 620 634 |
570 574 577 |
12 |
1 2 3 |
835 800 798 |
705 745 713 |
678 645 650 |
612 616 625 |
555 560 543 |
13 |
1 2 3 |
610 615 600 |
700 723 717 |
690 670 725 |
679 692 668 |
523 597 566 |
14 |
1 2 3 |
789 770 756 |
678 687 700 |
660 655 645 |
665 655 673 |
590 600 602 |
15 |
1 2 3 |
800 807 832 |
813 835 834 |
640 655 678 |
641 644 657 |
605 610 589 |
Таблиця 5 – Експериментальні значення міцності на стиск глиняної цегли (до завдання 2)
№ варіанту |
Номер досліду |
Вміст шамоту, % |
||||
8,0 |
11,0 |
14,0 |
17,0 |
20,0 |
||
1 |
1 2 3 |
38 59 62 |
63 67 70 |
75 73 77 |
84 81 87 |
93 98 100 |
2 |
1 2 3 |
45 39 43 |
55 58 64 |
67 72 80 |
91 94 99 |
110 115 120 |
3 |
1 2 3 |
51 64 69 |
72 78 83 |
85 84 78 |
99 91 111 |
118 121 130 |
4 |
1 2 3 |
80 91 96 |
100 115 113 |
125 140 130 |
145 139 155 |
160 165 170 |
5 |
1 2 3 |
78 85 85 |
86 91 93 |
101 107 104 |
110 112 118 |
122 120 116 |
6 |
1 2 3 |
64 70 75 |
83 89 94 |
99 106 111 |
113 125 131 |
135 129 123 |
7 |
1 2 3 |
92 97 100 |
102 109 112 |
122 128 137 |
139 143 150 |
152 158 160 |
8 |
1 2 3 |
50 59 62 |
66 73 74 |
80 86 91 |
93 99 95 |
109 115 107 |
9 |
1 2 3 |
68 76 82 |
79 84 83 |
100 97 92 |
112 111 104 |
115 121 114 |
10 |
1 2 3 |
79 80 76 |
67 69 73 |
80 79 87 |
135 125 120 |
98 80 117 |
11 |
1 2 3 |
60 57 55 |
83 85 94 |
78 75 94 |
100 120 134 |
107 117 104 |
12 |
1 2 3 |
83 80 79 |
705 745 713 |
678 645 650 |
112 116 125 |
115 126 104 |
13 |
1 2 3 |
69 61 60 |
700 723 717 |
690 670 725 |
97 92 86 |
123 97 106 |
14 |
1 2 3 |
78 77 75 |
678 687 700 |
660 655 645 |
95 85 97 |
90 100 102 |
15 |
1 2 3 |
80 87 83 |
813 835 834 |
640 655 678 |
101 114 107 |
105 110 118 |