Оптимізація об’єктів дослідження хімічної технології. Лінійне програмування
Мета роботи: навчитися вірно формулювати оптимізаційну задачу та вирішувати її за допомогою методу лінійного програмування.
Задача
лінійного програмування полягає в тому,
щоб знайти такі значення невідомих
змінних (
),
при яких досягається min
або max
цільової функції при одночасному
задоволенні співвідношень, які називаються
обмеженнями.
Математична модель лінійної оптимізаційної задачі може бути записана наступним чином:
x1, x2,….xn ≥0
де 
- цільова функція (критерій оптимізації),
- невідомі фактори,
–
коефіцієнти,
n кількість невідомих,
k - кількість обмежень,
bk – значення обмежень.
Запис систем обмежень в MathCad можна здійснити за допомогою блока Given:
f(x1,x2,...xn):=цільова функція відповідно до задачі
x1:=1 x2:=1 ……. xn:=1 завдання початкових значень
Given
Система обмежень у вигляді рівнянь або нерівностей відповідно до задачі
Рішення задачі:
k:=Maximize(f,x1,x2,…..xn) або k:=Minimize(f,x1,x2,...xn)
Рішенням задачі є вектор k зі значеннями невідомих х1, х2 та хn. Наприклад:
Щоб розрахувати значення цільової функції при цих значеннях х необхідно вказати їх місцезнаходження:
x1:=k1 x2:=k2 і т. ін.
Тоді значення цільової функції дорівнює, наприклад:
f(x1,x2,...xn)=3560.54
Завдання. Завод виробляє три види керамічних виробів, вартість одиниці кожного виду складає С1, С2, С3 (грн.), вага одиниці виробу – Р1, Р2, Р3 (кг) відповідно. На вироблення одиниці виробу витрачається А1, А2, А3 основної сировини (кг). При цьому відомо, що місячний запас сировини на заводі не перевищує К1 тонн. Устаткування, яке розміщене на заводі дозволяє виробляти не більше К2 тонн керамічної продукції в місяць. Крім того кількість кожного виду виробів повинна складати більш ніж К3, К4, К5 тонн відповідно. Необхідні дані подані в табл. 25.
Складіть оптимізаційну задачу щодо випуску продукції, яка би забезпечила максимальну вартість продажу (а відповідно і прибуток) всіх видів керамічної продукції.
Сформулюйте висновок щодо результатів розрахунку.
Таблиця 25 – Експериментальні дані
Варіант |
С1 |
С2 |
С3 |
Р1 |
Р2 |
Р3 |
А1 |
А2 |
А3 |
К1 |
К2 |
К3 |
К4 |
К5 |
1 |
30 |
40 |
50 |
4 |
5 |
6 |
3 |
3,5 |
4 |
40 |
80 |
10 |
15 |
24 |
2 |
20 |
45 |
50 |
4 |
5 |
6 |
3 |
3,5 |
4 |
40 |
80 |
16 |
10 |
24 |
3 |
23 |
30 |
52 |
4 |
5 |
6 |
3 |
3,5 |
4 |
40 |
80 |
12 |
25 |
12 |
4 |
32 |
41 |
48 |
4,5 |
5,2 |
5,8 |
3 |
3,5 |
4 |
40 |
80 |
20 |
20 |
6 |
5 |
30 |
40 |
54 |
4,5 |
5,2 |
5,8 |
3 |
3,5 |
4 |
40 |
80 |
20 |
5 |
18 |
6 |
25 |
40 |
47 |
4,5 |
5,2 |
5,8 |
3 |
3,5 |
4 |
40 |
80 |
8 |
15 |
24 |
7 |
35 |
45 |
55 |
4,5 |
5,2 |
5,8 |
3 |
3,5 |
4 |
40 |
80 |
4 |
30 |
15 |
8 |
28 |
40 |
53 |
4,5 |
5,2 |
5,8 |
3 |
3,5 |
4 |
40 |
80 |
14 |
22 |
9 |
9 |
30 |
40 |
50 |
4,5 |
5,2 |
5,8 |
3 |
3,5 |
4 |
40 |
70 |
10 |
15 |
24 |
10 |
28 |
40 |
53 |
4,5 |
5,2 |
5,8 |
3 |
3,5 |
4 |
40 |
70 |
16 |
10 |
24 |
11 |
28 |
40 |
53 |
4,5 |
5,2 |
5,8 |
3 |
3,5 |
4 |
40 |
70 |
12 |
25 |
12 |
12 |
28 |
40 |
53 |
4 |
5 |
6 |
3 |
3,5 |
4 |
40 |
70 |
20 |
20 |
6 |
13 |
28 |
40 |
53 |
4 |
5 |
6 |
3 |
3,5 |
4 |
40 |
70 |
20 |
5 |
18 |
14 |
23 |
30 |
52 |
4 |
5 |
6 |
3 |
3,5 |
4 |
40 |
70 |
8 |
15 |
24 |
15 |
23 |
30 |
52 |
4 |
5 |
6 |
3 |
3,5 |
4 |
40 |
70 |
4 |
30 |
15 |
16 |
23 |
30 |
52 |
4 |
5 |
6 |
3 |
3,5 |
4 |
30 |
60 |
14 |
22 |
9 |
17 |
23 |
30 |
52 |
3,5 |
5,1 |
5,5 |
3 |
3,5 |
4 |
30 |
60 |
10 |
15 |
24 |
18 |
23 |
30 |
52 |
3,5 |
5,1 |
5,5 |
3 |
3,5 |
4 |
30 |
60 |
16 |
10 |
24 |
19 |
23 |
30 |
52 |
3,5 |
5,1 |
5,5 |
2 |
3,5 |
4 |
30 |
60 |
12 |
25 |
12 |
20 |
30 |
40 |
50 |
3,5 |
5,1 |
5,5 |
2 |
3,5 |
4 |
30 |
60 |
20 |
20 |
6 |
21 |
30 |
40 |
50 |
3,5 |
5,1 |
5,5 |
2 |
3,5 |
4 |
30 |
60 |
20 |
5 |
18 |
22 |
25 |
40 |
47 |
3,5 |
5,1 |
5,5 |
2 |
3,5 |
4 |
30 |
60 |
8 |
15 |
24 |
23 |
25 |
40 |
47 |
3,5 |
5,1 |
5,5 |
2 |
3,5 |
4 |
30 |
60 |
4 |
30 |
15 |
24 |
25 |
40 |
47 |
3,5 |
5,1 |
5,5 |
2 |
3,5 |
4 |
30 |
60 |
14 |
22 |
9 |
25 |
25 |
40 |
47 |
3,5 |
5,1 |
5,5 |
3 |
3,5 |
4 |
30 |
60 |
12 |
25 |
12 |
26 |
25 |
40 |
47 |
4 |
5 |
6 |
3 |
3 |
4 |
35 |
70 |
20 |
20 |
6 |
27 |
30 |
40 |
50 |
4 |
5 |
6 |
3 |
3 |
4 |
35 |
70 |
20 |
5 |
18 |
28 |
30 |
40 |
50 |
4 |
5 |
6 |
3 |
3 |
4 |
35 |
70 |
8 |
15 |
24 |
29 |
30 |
40 |
50 |
4 |
5 |
6 |
3 |
3 |
4 |
35 |
70 |
4 |
30 |
15 |
30 |
30 |
40 |
50 |
4 |
5 |
6 |
3 |
3 |
4 |
35 |
70 |
14 |
22 |
9 |
ДОДАТОК 1
Критерій Стьюдента
f1 |
10% |
5% |
2% |
1% |
1 |
6,31 |
12,71 |
31,82 |
63,66 |
2 |
2,92 |
4,30 |
6,96 |
9,92 |
3 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
5,84 |
4 |
2,13 |
2,78 |
3,75 |
4,60 |
5 |
2,01 |
2,57 |
3,36 |
4,03 |
6 |
1,94 |
2,45 |
3,14 |
3,71 |
7 |
1,89 |
2,36 |
3,00 |
3,50 |
8 |
1,86 |
2,31 |
2,90 |
3,36 |
9 |
1,83 |
2,26 |
2,82 |
3,25 |
10 |
1,81 |
2,23 |
2,76 |
3,17 |
11 |
1,80 |
2,20 |
2,72 |
3,11 |
12 |
1,78 |
2,18 |
2,68 |
3,05 |
13 |
1,77 |
2,16 |
2,65 |
3,01 |
14 |
1,76 |
2,14 |
2,62 |
2,98 |
15 |
1,75 |
2,13 |
2,60 |
2,95 |
16 |
1,75 |
2,12 |
2,58 |
2,92 |
17 |
1,74 |
2,11 |
2,57 |
2,90 |
18 |
1,73 |
2,10 |
2,55 |
2,88 |
19 |
1,73 |
2,09 |
2,54 |
2,86 |
20 |
1,72 |
2,09 |
2,53 |
2,85 |
21 |
1,72 |
2,08 |
2,52 |
2,83 |
22 |
1,72 |
2,07 |
2,51 |
2,82 |
23 |
1,71 |
2,07 |
2,50 |
2,81 |
24 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,80 |
25 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,79 |
30 |
1,70 |
2,04 |
2,46 |
2,75 |
40 |
1,68 |
2,02 |
2,42 |
2,70 |
60 |
1,67 |
2,00 |
2,39 |
2,66 |
120 |
1,66 |
1,98 |
2,36 |
2,62 |
∞ |
1,64 |
1,96 |
2,33 |
2,58 |
α
f = n·(m-1),
де n – кількість рівнів;
m – кількість паралельних дослідів на кожному рівні;
α – рівень значимості (звичайно α = 5%).
ДОДАТОК 3
Критерій Фішера (при q=0,05)
F1 F2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
8 |
12 |
24 |
∞ |
1 |
161,40 |
199,50 |
215,70 |
224,60 |
230,20 |
234,00 |
238,90 |
243,90 |
249,00 |
254,30 |
2 |
18,51 |
19,00 |
19,16 |
19,25 |
19,30 |
19,33 |
19,37 |
19,41 |
19,45 |
19,50 |
3 |
10,13 |
9,55 |
9,28 |
9,12 |
9,01 |
8,94 |
8,84 |
8,74 |
8,64 |
8,53 |
4 |
7,71 |
6,94 |
6,59 |
6,39 |
6,26 |
6,16 |
6,04 |
5,91 |
5,77 |
5,63 |
5 |
6,61 |
5,79 |
5,41 |
5,19 |
5,05 |
4,95 |
4,82 |
4,68 |
4,53 |
4,36 |
6 |
5,99 |
5,14 |
4,76 |
4,53 |
4,39 |
4,28 |
4,15 |
4,00 |
3,84 |
3,67 |
7 |
5,59 |
4,74 |
4,35 |
4,12 |
3,97 |
3,87 |
3,73 |
3,57 |
3,41 |
3,23 |
8 |
5,32 |
4,46 |
4,07 |
3,84 |
3,69 |
3,58 |
3,44 |
3,28 |
3,12 |
2,93 |
9 |
5,12 |
4,26 |
3,86 |
3,63 |
3,48 |
3,37 |
3,23 |
3,07 |
2,90 |
2,71 |
10 |
4,96 |
4,10 |
3,71 |
3,48 |
3,33 |
3,22 |
3,07 |
2,91 |
2,74 |
2,54 |
11 |
4,84 |
8,98 |
3,59 |
3,36 |
3,20 |
3,09 |
2,95 |
2,79 |
2,61 |
2,40 |
12 |
4,76 |
3,88 |
3,49 |
3,26 |
3,11 |
3,00 |
2,85 |
2,69 |
2,80 |
2,30 |
13 |
4,67 |
3,80 |
3,41 |
3,18 |
3,02 |
2,92 |
2,77 |
2,60 |
2,42 |
2,21 |
14 |
4,60 |
3,74 |
3,34 |
3,11 |
2,96 |
2,85 |
2,70 |
2,53 |
2,35 |
2,13 |
15 |
4,54 |
3,68 |
3,29 |
3,06 |
2,90 |
2,79 |
2,64 |
2,48 |
2,29 |
2,07 |
16 |
4,49 |
3,63 |
3,24 |
3,01 |
2,85 |
2,74 |
2,59 |
2,42 |
2,24 |
2,01 |
17 |
4,45 |
3,59 |
3,20 |
2,96 |
2,81 |
2,70 |
2,55 |
2,38 |
2,19 |
1,96 |
18 |
4,41 |
3,65 |
3,16 |
2,93 |
2,77 |
2,66 |
2,51 |
2,34 |
2,15 |
1,92 |
19 |
4,38 |
3,62 |
3,13 |
2,90 |
2,74 |
2,63 |
2,48 |
2,31 |
2,11 |
1,88 |
20 |
4,35 |
3,49 |
3,10 |
2,87 |
2,71 |
2,60 |
2,45 |
2,28 |
2,08 |
1,84 |
21 |
4,32 |
3,47 |
3,07 |
2,84 |
2,68 |
2,57 |
2,42 |
2,25 |
2,05 |
1,81 |
22 |
4,30 |
3,44 |
3,06 |
2,82 |
2,66 |
2,55 |
2,40 |
2,23 |
2,03 |
1,78 |
23 |
4,28 |
3,42 |
3,03 |
2,80 |
2,64 |
2,53 |
2,38 |
2,20 |
2,00 |
1,76 |
24 |
4,26 |
3,40 |
3,01 |
2,78 |
2,62 |
2,51 |
2,36 |
2,18 |
1,98 |
1,73 |
25 |
4,24 |
3,38 |
2,99 |
2,76 |
2,60 |
2,49 |
2,34 |
2,16 |
1,96 |
1,71 |
30 |
4,17 |
3,32 |
2,92 |
2,69 |
2,53 |
2,42 |
2,27 |
2,09 |
1,89 |
1,62 |
40 |
4,08 |
3,23 |
2,84 |
2,61 |
2,45 |
2,34 |
2,18 |
2,00 |
1,79 |
1,52 |
60 |
4,00 |
3,15 |
2,76 |
2,52 |
2,37 |
2,25 |
2,10 |
1,92 |
1,70 |
1,39 |
120 |
3,92 |
3,07 |
2,68 |
2,45 |
2,29 |
2,17 |
2,02 |
1,83 |
1,61 |
1,25 |
∞ |
3,84 |
2,99 |
2,60 |
2,37 |
2,21 |
2,09 |
1,94 |
1,75 |
1,52 |
1,00 |
Якщо є паралельні досліди f1 = n – l f2 = n·(m-1)
Якщо паралельних дослідів немає f1 = n – 1 f2 = n - l
де n –кількість рівнів;
l– кількість значимих коефіцієнтів в рівнянні регресії;
m – кількість паралельних дослідів.
ДОДАТОК 2
КРИТЕРІЙ КОХРЕНА (при q=0,05)
f2 f1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
16 |
36 |
144 |
∞ |
2 |
0,9985 |
0,9750 |
0,9392 |
0,9057 |
0,8584 |
0,8534 |
0,8322 |
0,8159 |
0,8010 |
0,7880 |
0,7341 |
0,6602 |
0,5813 |
0,5000 |
3 |
0,9669 |
0,8709 |
0,7977 |
0,7457 |
0,7071 |
0,6771 |
0,6530 |
0,6333 |
0,6167 |
0,6025 |
0,5466 |
0,4748 |
0,4031 |
0,3333 |
4 |
0,9065 |
0,7679 |
0,6841 |
0,6287 |
0,5895 |
0,5598 |
0,5365 |
0,5175 |
0,5017 |
0,4884 |
0,4366 |
0,3720 |
0,3093 |
0,2500 |
5 |
0,8412 |
0,6838 |
0,5981 |
0,5440 |
0,5063 |
0,4783 |
0,4564 |
0,4387 |
0,4241 |
0,4118 |
0,3645 |
0,3066 |
0,2513 |
0,2000 |
6 |
0,7808 |
0,6161 |
0,5321 |
0,4803 |
0,4447 |
0,4184 |
0,3980 |
0,3817 |
0,3682 |
0,3568 |
0,3135 |
0,2612 |
0,2119 |
0,1667 |
7 |
0,7271 |
0,5612 |
0,4800 |
0,4307 |
0,3907 |
0,3726 |
0,3555 |
0,3384 |
0,3254 |
0,3154 |
0,2756 |
0,2277 |
0,1833 |
0,1429 |
8 |
0,6798 |
0,5157 |
0,4377 |
0,3910 |
0,3595 |
0,3362 |
0,3185 |
0,3043 |
0,2926 |
0,2829 |
0,2462 |
0,2022 |
0,1616 |
0,1250 |
9 |
0,6385 |
0,4775 |
0,4027 |
0,3584 |
0,3286 |
0,3067 |
0,2901 |
0,2768 |
0,2659 |
0,2568 |
0,2226 |
0,1820 |
0,1446 |
0,1111 |
10 |
0,6020 |
0,4450 |
0,3733 |
0,3311 |
0,3029 |
0,2823 |
0,2666 |
0,2541 |
0,2439 |
0,2353 |
0,2032 |
0,1655 |
0,1308 |
0,1000 |
12 |
0,5410 |
0,3924 |
0,3264 |
0,2880 |
0,2624 |
0,2439 |
0,2299 |
0,2187 |
0,2098 |
0,2020 |
0,1737 |
0,1403 |
0,1100 |
0,0833 |
15 |
0,4709 |
0,3346 |
0,2758 |
0,2419 |
0,2195 |
0,2034 |
0,1911 |
0,1815 |
0,1736 |
0,1671 |
0,1429 |
0,1144 |
0,0889 |
0,0677 |
20 |
0,3894 |
0,2705 |
0,2205 |
0,1921 |
0,1735 |
0,1602 |
0,1501 |
0,1422 |
0,1357 |
0,1303 |
0,1108 |
0,0879 |
0,0675 |
0,0500 |
30 |
0,2929 |
0,1980 |
0,1593 |
0,1377 |
0,1237 |
0,1137 |
0,1061 |
0,1002 |
0,0958 |
0,0921 |
0,0771 |
0,0604 |
0,0457 |
0,0333 |
40 |
0,2370 |
0,1576 |
0,1259 |
0,1082 |
0,0968 |
0,0887 |
0,8270 |
0,0780 |
0,0745 |
0,0713 |
0,0595 |
0,0462 |
0,0347 |
0,0250 |
60 |
0,1737 |
0,1131 |
0,0895 |
0,0766 |
0,0682 |
0,0623 |
0,0583 |
0,0552 |
0,0520 |
0,0497 |
0,0411 |
0,0316 |
0,0234 |
0,0167 |
120 |
0,0998 |
0,0632 |
0,0495 |
0,0419 |
0,0371 |
0,0337 |
0,0312 |
0,0292 |
0,0279 |
0,0266 |
0,0218 |
0,0165 |
0,0120 |
0,0083 |
∞ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
f1 = n,
де n – кількість рівнів;
f2 = m-1,
де m – кількість паралельних дослідів на кожному рівні.
ДОДАТОК 4
Значення для симплекс-решітчастого планування експерименту
а-
,
б-
,
в-
,
г-