4. Аппроксимация таблично заданных теплофизических характеристик различных веществ

Задача наилучшего приближения таблично заданной функции f можно решить, используя метод наименьших квадратов, при этом формулировка задачи будет выглядеть следующим образом:

для таблично заданной функции y = f(x) найти уравнение регрессии F(x) определенного вида так, чтобы сумма квадратов разностей соответствующих значений функций F и f в точках x₁ ,x₂,, …x_n была наименьшей:

,

где η_j – параметры функции F, определяемые в процессе поиска минимума,

j = 1,2,3…k.

В соответствии с условием существования экстремума функционала Ф получаем систему k уравнений для определения η_j :

, j = 1,2,3…k.

Вопросы практического применения метода наименьших квадратов достаточно подробно проанализированы в литературе, и глубина их проработки доведена до стандартного программного математического обеспечения. Поэтому, применительно к решению задачи об аппроксимации таблично заданных теплофизических характеристик различных веществ [10], ниже будут отмечены только особенности приближающих функций, непосредственно входящих в итоговые таблицы.

Принята одна структура функций для всех ТФХ с соответствующей дифференциацией параметров А, В, и С (аналоги η_j), управляющих минимизацией функционала Ф (A,B,C) :

ξ = Аt² + Bt + C

Результаты аппроксимации таблиц ТФХ различных веществ представлены в следующих таблицах [6].

При принятой структуре аппроксимирующей функции среднеинтегральная характеристика применительно к ТФХ λ, ρ, С_р и др. (в общем случае – ξ) в интервале температур t₁ – t₂ будет определяться следующим выражением

.

При линейной зависимости ξ(t) среднеинтегральная характеристика ξ_ср (A = 0) будет определяться среднеарифметическим выражением .

4. Радиационный теплообмен

При радиационном теплообмене энергия переносится в виде электро-магнитных волн, различные интервалы которых характеризуются вполне определенными свойствами: ультрафиолет, видимый (человеком), радиодиапазон и т.д. Диапазон длин волн, в котором переносится максимальное количество тепловой энергии, называется инфракрасным. Тепловой поток идеального излучателя (абсолютно черного тела) в зависимости от температуры определяется законом Стефана-Больцмана:

(1.6.1)

- постоянная Больцмана.

Теплообмен в системе черных замкнутых (выпуклых) поверхностей с температурами T₁ и T₂ можно количественно характеризовать уравнением:

 ,

где S_1,2 – поверхность взаимной облученности.

Преобразуя это уравнение к форме закона Ома:

,

получаем для термического сопротивления радиационного теплообмена формулу:

. (1.6.2)

1.7 Уравнения термогазодинамики [4]

Анализ задач транспорта тепла в любой физической системе требует адекватного математического описания. Для подавляющего большинства инженерных задач достаточно обобщенного закона сохранения энергии в форме (1.2.1) и Ньютоновского приближения, при котором идеальные гидрогазодинамические среды характеризуются двумя механическими свойствами – плотностью ρ и динамической вязкостью μ. Система уравнений термогазодинамики в приемлемом для инженерной практики приближении включает:

– уравнение движения (для ньютоновской жидкости: ρ = const, μ = const) –векторное уравнение Навье-Стокса

p , (1.7.1)

где – гравитационные силы, Н/м²; p – давление, Па;

– уравнение сплошности, которое в общем случае имеет вид:

, (1.7.2)

где – объемные массовые источники, кг/(м³∙с);

– уравнение теплопроводности Фурье-Кирхгофа для изотропной среды и малых значениях скорости течения и вязкости:

div(λ·grad t) + q_V , (1.7.3)

где q_V – плотность объемных источников тепловыделения, Вт/м³;

λ – теплопроводность, Вт/(м·К); с_p – удельная теплоемкость при постоянном давлении, Дж/(кг·К).

Замыкает систему уравнений (1.7.1)  (1.7.3) уравнение «связи», определяющее в конечном итоге искомую величину:

. (1.7.4)

Для неподвижной среды получаем следующую форму уравнения (1.7.3):

div(λ·grad t) + q_V . (1.7.5)

Это уравнение параболического типа, описывающее процессы транспорта тепла с бесконечной скоростью распространения возмущения в неподвижной среде.

В уравнениях термогазодинамики (1.7.1)  (1.7.3) классическая форма субстанциональной (индивидуальной) производной – левая часть этих уравнений –представлена в декартовой системе координат для некоторой функции f следующим образом [1]:

,

Уравнения термогазодинамики можно представить в обобщенной форме [3]:

. (1.7.6)

Здесь: для уравнения энергии:

;

для проекции векторного уравнения (1.7.1) на i-ю координату:

для уравнения неразрывности:

.

Необходимо отметить, что, во-первых, обобщенная форма уравнений переноса (1.7.6) записана в приближении, вполне удовлетворяющем инженерной практике [3], и, во-вторых, его скалярная форма соответствует как уравнению энергии, так и скалярным уравнениям системы Навье-Стокса (1.7.1).

Анализ задач тепломассообмена в любой постановке (прямая, обратная и т.д.) требует математической формулировки условий однозначности. Конкретизация этих условий будет сделана в последующих разделах.