1. Оценка точности в установившемся режиме

В данном разделе необходимо оценить точность заданной системы управления (рисунок 1). Данная система управления является статической, поэтому её статическая точность оценивается при ступенчатом воздействии.

Рисунок 1. – Исходная алгоритмическая схема системы управления

Запишем передаточную функцию замкнутой системы по каналу х_з-ε .

Подставим значения передаточных функций в выражение передаточной функции замкнутой системы:

Запишем теорему Лапласа о конечном значении оригинала для сигнала ошибки:

Подставим значения функции замкнутой системы и сигнал задания :

Вычисляем значение сигнала ошибки ε(t) в установившемся режиме:

ε (∞) ≥ ε = 0,5

Точность системы не удовлетворяет заданной точности ε_з , вычисляется новое значение передаточного коэффициента управляющего устройства k_у , которое позволит обеспечить в системе требуемое значение сигнала ошибки. Запишем выражение для сигнала статической ошибки в общем виде, из которого выразим коэффициент k_у .

Новое значение коэффициента k_у позволяет обеспечить заданную точность системы по каналу х_з-ε.

Вывод: Заданный коэффициент k_У=20 не обеспечивает достаточную точность системы в установившемся режиме, поэтому в данном разделе было вычислено новое значение коэффициента k_У=56,28, позволяющее обеспечить заданную точность системы по каналу ошибки х_з-ε в установившемся режиме ε(∞)≤ε_з = 0,5 .

2. Проверка устойчивости исходной системы

В данном разделе производится проверка устойчивости системы по критерию Михайлова. Данный критерий основан на анализе характеристического уравнения системы. Исходным выражением для определения устойчивости берем характеристическое уравнение замкнутой системы. Сначала ведется проверка устойчивости с новым, большим передаточным коэффициентом управляющего устройства k_у = 56,28.

1+W_рк(р)=0

Преобразуем полученное выражение и представим его в виде полинома

,

где k_рк= k_п k_у k_и k_о

Раскрываем скобки и заменяем р на jω.

Разделим характеристический полином на действительную и мнимую части и подставим все коэффициенты и постоянные времени системы (k_у = 56,28).

Задаваясь численными значениями ω, вычисляем значения мнимой и действительной части характеристического полинома системы. Результаты вычислений приведены в таблице 1. Годограф Михайлова приведен на рисунке 2.

Таблица 1. – Расчетные данные для построения годографа Михайлова

ω	P(ω)	Q(ω)
0	13	0
1	11.65	1.898
2	7.6	2.284
3	0.85	-0.354
3.25	-0.824	-1.3775
3.5	-3.5375	-3.2795
4	-3.2795	-6.5634
∞	-∞	-∞

Рисунок 2. – Годограф Михайлова для системы с новым значением k_у

Формулировка критерия Михайлова

Система n-ого порядка будет устойчивой, если при изменении частоты ω от 0 до ∞ характеристическая кривая F(jω) пройдет в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно, не обращаясь в 0 π/2∙n квадрантов.

Исходя из формулировки критерия и вида получившейся характеристической кривой, можно сделать вывод, что данная система не устойчива, так как кривая, начинаясь в первом квадранте переходит сразу в четвертый, а затем в третий.

Второй раз расчет ведется для исходной системы, с передаточным коэффициентом управляющего устройства k_у =20. В этом случае формулы Р(ω) и Q(ω) преобразуются следующим образом:

В таблице 2 приведены данные для построения годографа Михайлова. Годограф Михайлова приведен на рисунке 3.

Таблица 2. – Расчетные данные для построения годографа Михайлова

ω	P(ω)	Q(ω)
0	4,62	0
1	3.27	1.898
2	-0.78	2.284
3	-7.53	-0.354
3.25	-9.204	-1.378
3.5	-11.917	-3.28
4	-16.98	-7.528
∞	-∞	-∞

Рисунок 3. – Годограф Михайлова для системы с исходным значением k_у

Исходя из формулировки критерия Михайлова и вида получившейся характеристической кривой, можно сделать вывод, что данная система устойчива, так как кривая, начинаясь в первом квадранте переходит последовательно в третий, а затем в четвертый.

Вывод: Проверка устойчивости системы показала, что при исходном k_у =20 система устойчива. При увеличенном же k_у =56,28 система не устойчива и требует коррекции.