Лекция 3 растяжение и сжатие. Определение внутренних усилий

План:

3.1 Определение внутренних усилий. Эпюра продольных сил

3.2 Напряжения при растяжении-сжатии

3. Определение деформаций и перемещений

3.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ.ЭПЮРА ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ

Рассмотрим случай осевого (центрального) растяжения или сжатия, когда внешние силы действуют по оси стержня (рис. 1). Для определения внутренних усилий (продольных сил) применим метод сечений.

Проведем какое-нибудь сечение, например а– а, и рассмот­рим равновесие нижней отсеченной части. Воздействие верхней отброшенной части на нижнюю заменим продольной силой и предварительно направим ее от сечения, т.е. предположим, что сила является растягивающей. Составим уравнение равнове­сия. Проецируя все силы, действующие на нижнюю часть, на направление параллельное оси стержня, и приравнивая сумму проекций нулю, получаем N₁+8F– 5F=0, откуда N₁= –3F.

Знак минус показывает, что направление силы N₁ следует изменить на обратное, т. е. продольная сила будет в данном случае не растягивающей, как мы предположили, а сжимающей. Аналогично найдем продольную силу в сечении б – б: N₂=5F (растяжение). Условимся продольную силу, соответствующую растяжению, считать положительной.

Рисунок 1

Наглядное представление о законе изменения продольных сил по длине стержня дает график (эпюра продольных сил), ось абсцисс которого проводится па­раллельно оси стержня, а ось ординат ей перпендикулярна. По оси ординат в выбранном мас­штабе откладывают значения про­дольных сил (с учетом знаков) в поперечных сечениях стержня. Для рассмотренного случая эпю­ра N представлена на рис. 1.

3.2 Напряжения при растяжении-сжатии

Если на поверхность призматического стержня нанести сетку линий, параллельных и перпендикулярных оси стержня (рис. 2, а), и приложить к нему растягивающую силу, то можно убедиться в том, что линии сетки и после деформации останутся взаимно перпендикулярными, за исключением небольшого участка стержня вблизи точки приложения силы, который из рас­смотрения пока исключаем, но расстояния между ними изме­нятся (рис. 2,б). Все горизонтальные линии, например сd, переместятся вниз, оставаясь горизонтальными и прямыми. Можно предположить также, что и внутри стержня будет такая же картина, т. е. поперечные сечения стержня, плоские и нор­мальные к его оси до деформации, останутся плоскими и нор­мальными к оси и после деформации.

Эту гипотезу называют гипотезой плоских сечений или гипотезой Бернулли. Формулы, полученные на основе этой гипотезы, подтверждаются результатами опытов.

Рисунок 2

Такая картина деформаций дает основание считать, что в поперечных сечениях стержня действуют только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению, а касательные напряжения равны нулю.

Продольная сила N есть равнодействующая нормальных напряжений в поперечном сечении:

(1)

Поскольку σ=соnst, из формулы (1) получим

N=σA,

Откуда

σ=N/A (2)

В частном случае, когда на стержень действует одна внеш­няя сила F, из уравнения равновесия получим N=F (рис. 2, в) и вместо общей формулы (2) получим частный вид форму­лы для растяжения

σ=F/А. (2а)

Эти формулы справедливы и для сжатия, с той только разни­цей, что сжимающие напряжения считаются отрицательными.

Кроме того, сжатые стержни помимо расчета на прочность рассчитываются также на устойчивость.