Решение этого уравнения имеет вид
Постоянные К, В, С, D определяются из граничных условий. Например, для третьего случая закрепления (рис. 4) при начале координат на нижнем конце имеем (l — длина стержня):
1)
;
2)
;
3)
;
4)
или
.
Используя эти условия, получим
B+D = 0; K + C = 0; K sin l + B cos l +C l + D = 0;
K sin l + B cos l = 0.
Из математики известно, что система однородных уравнений (т. е. без свободных членов) имеет ненулевое решение только в том случае, когда ее определитель равен нулю:
.
Раскрывая
этот определитель, получим
.
Наименьший корень этого уравнения,
отличный от нуля, l
=
4,49, тогда
.
Таким образом, = 0,7.
Аналогично получают значения коэффициентов, указанные на рис. 4, при других способах закрепления концов стержня.
Как видно из формулы (7), чем меньше , тем больше критическая, а следовательно, и допускаемая нагрузка стержня. Например, нагрузка стержня, заделанного двумя концами, может быть в 16 раз больше нагрузки стержня, заделанного одним концом. Поэтому там, где возможно, следует осуществлять жесткую заделку обоих концов стержня. Однако это не всегда можно осуществить на практике. Элементы, к которым прикрепляются концы рассматриваемого стержня, всегда более или менее упруги, податливы, что вносит некоторую неопределенность в расчет. Поэтому весьма часто даже при жестком соединении концов стержня с другими элементами расчет в запас устойчивости ведут, предполагая шарнирное закрепление обоих концов.
Литература
Основная
Беляев Н.М. Сопротивление материалов, «Наука», М., 1976г.
Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов, «Высшая школа», М., 1975г.
Васильев В.З. Краткий курс сопротивления материалов с основами теории упругости, издание «Иван Феодоров», Санкт-Петербург, 2001г.
Смирнов А.Ф. Сопротивление материалов, «Высшая школа» М., 1975г.
Дополнительная
1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов, «Наука», М., 1975г.
2. Таран В.И. Сопротивление материалов. Пособие по решению задач,
издание «Демеу»Алматы, 1992г, 204с.