4. Потенциальная энергия при кручении

При кручении внешние моменты совершают работу вследст­вие поворота сечений, к которым они приложены. Эта работа расходуется на создание запаса потенциальной энергии дефор­мации, численно равной работе внутренних сил.

Аналогично тому, как это было сделано при растяжении, можно доказать, что работа статически приложенного внешнего скручивающего момента равна половине произведения конечно­го значения момента на окончательный угол закручивания:

W=T_eυ/2. (21)

Работа внутренних сил, отрицательная по знаку, и численно равная ей потенциальная энергия при кручении вычисляются аналогично тому, как вычислялась работа внутренних сил при растяжении (сжатии).

Элементарная работа внутренних сил

dW_i= –Tdυ/2, (22)

где Т — крутящий момент; dυ— угол закручивания элемента длиной dz.

Но по формуле (12)

dυ=Tdz/(GI_p).

Следовательно,

dW_i= –T²dz/(2GI_p). (23)

Полную работу внутренних сил получим, интегрируя выра­жение для элементарной работы по всей длине l стержня:

. (24)

Для вычисления потенциальной энергии, равной по значению работе внутренних сил и обратной по знаку, имеем

. (25)

Если крутящий момент и жесткость стержня не меняются по длине, то

U=T²l/(2GI_p). (26)

Литература

Основная

1. Беляев Н.М. Сопротивление материалов, «Наука», М., 1976, [1], гл. I, §§1-5.

2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов, «Высшая школа», М., 1975, [2], гл. I, §§1.1-6.1.

3. Васильев В.З. Краткий курс сопротивления материалов с основами теории упругости, издание «Иван Феодоров», Санкт-Петербург, 2001г.

4. Смирнов А.Ф. Сопротивление материалов, «Высшая школа» М., 1975г.

Дополнительная.

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов, «Наука», М., 1975г.

2. Таран В.И. Сопротивление материалов. Пособие по решению задач, издание «Демеу» Алматы, 1992, 204 с.

Лекция 10 тема: изгиб

ПЛАН:

10.1 ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О ДЕФОРМАЦИИ ИЗГИБА

10.2 ТИПЫ ОПОР БАЛОК

10.3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ ИЗГИБЕ

10.4 ПРАВИЛО ЗНАКОВ ДЛЯ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ

1. Общие понятия о деформации изгиба

Весьма часто стержни подвергаются действию поперечной нагрузки или внешних пар (рис. 1).

При этом в поперечных сечениях стержня возникают изги­бающие моменты, т.е. внутренние моменты, плоскость дейст­вия которых перпендикулярна плоскости поперечного сечения стержня.

При действии такой нагрузки ось стержня искривляется.

Указанный вид нагружения называют изгибом, а стержни, работающие в основном на изгиб – балками.

Рисунок 1

Изгиб называют чистым, если изгибающий момент является единственным внутренним усилием, возникающим в поперечном сечении стержня.

Чаще, однако, в поперечных сечениях стержня наряду с из­гибающими моментами возникают также и поперечные силы. Такой изгиб называют поперечным.

Если плоскость действия изгибающего момента (силовая плоскость) проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения стержня, изгиб носит название простого или плоского (применяется также название прямой изгиб).

Если плоскость действия изгибающего момента в сечении не совпадает ни с одной из главных осей сечения, изгиб называют косым.

Далее будет показано, что при плоском изгибе ось балки и после деформации остается в плоскости внешних сил — силовой плоскости. При косом изгибе плоскость деформации не совпадает с силовой плоскостью.

Изучение деформации изгиба начнем со случая чистого простого изгиба; в дальнейшем рассмотрим более общий случай изгиба — поперечный изгиб.