3. Потенциальная энергия при сдвиге. Зависимость между тремя упругими постоянными

E, G и ν

Вычислим потенциальную энергию при сдвиге. Для простоты предположим, что грань КD элемента неподвижна (рис. 3). Тогда при смещении верхней грани сила τδdх (где δ — толщина элемента) совершит работу на перемещении γdy. Следователь­но, потенциальная энергия деформации, накопленная в эле­менте, dU=τγδdxdу/2.

Удельная потенциальная энергия

U=dU/dV=τγ/2.

Выразив γ через τ по закону Гука (1), получим

и=τ²/(2G). (2)

Множитель 1/2 принят потому, что сила прямо пропорциональна смещению.

С другой стороны, потенциальная энергия может быть выра­жена через главные нормальные напряжения. Из формулы удельной потенциальной энергии

для плоского напряженного состояния, каким является чистый сдвиг, полагая σ₂=0, получаем

(3)

Но главные напряжения при сдвиге равны σ₁=τ, σ₃= –τ, следовательно,

u=τ ²(1+ν)/E. (4)

Так как энергия не должна зависеть от ориентировки граней элемента, то, приравнивая правые части выражений (2) и (4), получаем

τ²/(2G)= τ ²(1+ν)/E.

Отсюда найдем зависимость между модулем сдвига G и мо­дулем упругости первого рода Е:

G=E/[2(1+ν)]. (5)

Для стали модуль сдвига G=2∙10⁵/|2(1+0,3)] ≈ 8·10⁴ МПа.

Литература

Основная

1. Беляев Н.М. Сопротивление материалов, «Наука», М., 1976г.

2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов, «Высшая школа», М., 1975г.

3. Васильев В.З. Краткий курс сопротивления материалов с основами теории упругости, издание «Иван Феодоров», Санкт-Петербург, 2001г.

ЛЕКЦИЯ 8

Тема: кручение

ПЛАН ЛЕКЦИИ:

8.1 Крутящие моменты 8.2 Построение эпюры крутящих моментов 8.3 Пример

1. Построение эпюр крутящих моментов

Стержень испытывает кручение, если в его поперечных сече­ниях возникают крутящие моменты, т. е. моменты, лежащие в плоскости сечения. Обычно эти крутящие моменты Т возника­ют под действием внешних моментов T_e (рис. 1). Внешние моменты передаются на вал, как правило, в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т. п. Однако и поперечная нагрузка, смещенная относительно оси стержня, вызывает крутящие моменты (рис. 2), но в указан­ном случае в поперечных сечениях наряду с крутящими момента­ми возникают и другие внутренние усилия — поперечные силы и изгибающие моменты.

Рисунок 1

Рисунок 2

Вращающиеся и работающие на кручение стержни называ­ют валами.

Вместо аксонометрического изображения будем применять главным образом плоское, как более простое. Внешние скручивающие моменты и внутренние крутящие моменты будем изобра­жать в виде линии с двумя кружочками. В одном из них будем ставить точку, обозначающую начало стрелки (на нас), а в дру­гом — крестик, обозначающий конец стрелки, направленный от нас (рис. 3).

Рисунок 3

Для определения крутящих моментов Т, возникающих в се­чениях вала под действием внешних скручивающих моментов или поперечной нагрузки, будем применять метод сечений. Сделаем мысленный разрез стержня (рис. 3). например по а — а, отбросим одну часть стержня, в данном слу­чае левую, и рассмотрим равно­весие оставшейся правой части.

Взаимодействие частей стер­жня заменим крутящим моментом Т, уравновешивающим внешний момент Т_е. Для равновесия отсе­ченной части необходимо, чтобы ал­гебраическая сумма всех моментов, действующих на нее, была равна нулю. Отсюда в рассматриваемом случае Т=Т_е. Если на отсеченную часть будет действовать несколько внешних моментов, то, проведя аналогичные рассуждения, можно убедиться, что

крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, действующих по одну сторону от сечения.

Для наглядного представления о характере распределения и значении крутящих моментов по длине стержня строят эпюры (графики) этих моментов. Построение их вполне аналогично построению эпюр продольных сил при растяжении или сжатии. Для построения эпюр необходимо условиться о правиле знаков. Общепринятого правила знаков для крутящих моментов не существует. Может быть принято любое правило знаков. Важно лишь принятое правило выдержать на всем протяжении эпюры.

Примем следующее правило знаков (рис. 4). Крутящий момент в сечении а — а считается положительным, когда внеш­ний момент вращает отсеченною часть против часовой стрелки. Если смотреть на отсеченную часть со стороны сечения. Если же внешний момент вращает отсеченную часть по часовой стрелке (при взгляде со стороны сечения), то крутящий момент в сече­нии будем считать отрицательным.

Рисунок 4

Построение эпюры крутящих моментов поясним на следующем примере (рис.5). Рассмотрим вал СD, опирающийся на подшипники В и А и находящийся в равновесии под действием приложенных к нему в сечениях Е, К и L. моментов, Сделав сечение а — а где-либо на участке DL и рассмотрев равновесие правой отсеченной части, убедимся, что T=0. Если мы сделаем затем сечение b — b в любом месте участка LК, то из условия равновесия правой от сечения части получим T=20 кН-м.

Рисунок 5

Момент считаем положительным в соответствии с принятым правилом знаков. Сделав сечение с — с на участке КЕ, из усло­вия равновесия правой части получим 20—30—Т= 0, откуда Т= –10 кН.м.

Получившаяся эпюра имеет форму двух прямоугольников. Важно заметить, что в местах приложения внешних моментов ординаты эпюры скачкообразно изменяются на величину прило­женного здесь внешнего момента.

Если заданы поперечные нагрузки, вызывающие кручение стержня (см. рис.2), то предварительно вычисляют внешние скручивающие моменты, создаваемые этими силами. В случае, представленном на рис.2, внешний скручивающий момент от силы F равен Т_е= –Fr. После определения внешних моментов определяют внутренние крутящие моменты и строят эпюры, как указано выше.