5. Зависимость между центробежными моментами инерции относительно двух систем параллельных осей

Пусть оси x₀y₀ —центральные оси (рис. 3) и момент инерции I_x0y0 известен. Найдем центробежный момент инерции относительно осей х₁ и у₁.

Рисунок 3

Из рисунка видно, что

х₁=x₀+b, у₁=у₀+а.

Следовательно

, (12)

или

I_x1y1=I_x0y0+Aab. (12а)

Второй и третий интегралы в правой части равенства (12), представляющие статические моменты относительно центральных осей, равны нулю. Итак, центробежный момент инерции относительно системы взаим­но перпендикулярных осей, параллельных центральным, равен центробежному моменту инерции относительно этих централь­ных осей плюс произведение площади фигуры на координаты ее центра тяжести относительно новых осей.

Если оси x₀ и y₀ являются центральными главными осями, то относительно этих осей I_x0y0 =0 и формула (12а) упрощается:

I_x1y1=Aab . (13)

Для сложной фигуры, состоящей из п простых фигур,

. (14)

(при условии, что собственные центральные оси каждой фигу­ры являются главными осями).

Литература

Основная

1.Беляев Н.М. Сопротивление материалов, «Наука», М., 1976г.

2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов, «Высшая школа», М., 1975г.

3. Васильев В.З. Краткий курс сопротивления материалов с основами теории упругости, издание «Иван Феодоров», Санкт-Петербург, 2001г.

4. Смирнов А.Ф. Сопротивление материалов, «Высшая школа» М., 1975г.

Дополнительная

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов, «Наука», М., 1975г.

2. Таран В.И. Сопротивление материалов. Пособие по решению задач, издание «Демеу» Алматы, 1992, 204 с.

3. Качурин В.К. Сборник задач по сопротивлению материалов, «Наука», М., 1972г, 430с.

ЛЕКЦИЯ 7

Тема: сдвиг

ПЛАН ЛЕКЦИИ:

7.1 Понятие о сдвиге

7.2 Деформации при сдвиге. Закон Гука

7.3 Напряжения при сдвиге

7.4 Характеристики упругих свойств изотропного материала

1. Основные понятия

Если на гранях элемента действуют только касательные напряжения (рис. 1), то такой вид напряженного состояния называется чистым сдвигом. Площадки, по которым действуют только касательные напряжения, называют­ся площадками чистого сдвига.

Рисунок 1

Примером тела, во всех точках которого имеет место чистый сдвиг, является скручиваемый стержень круглого сечения.

Кроме расчетов на прочность при чистом сдвиге на практике весьма часто производят расчеты на прочность по касательным напря­жениям независимо от того, по каким пло­щадкам они действуют: по площадкам чисто­го сдвига или по любым другим площадкам. Такие расчеты называются расчетами на сдвиг или срез (для дерева и бетона применяется также термин скалывание). Примером соединений, рассчитываемых на срез, являются заклепочные, болтовые и сварные соединения.

Несмотря на ряд упрощений, принимаемых при этом, расче­ты на срез, как показывает практика, являются вполне надеж­ными.

2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ

ПРИ ЧИСТОМ СДВИГЕ

При чистом сдвиге главные напряжения получаются равными по значению и противопо­ложными по знаку:

т.е. одно главное напряже­ние — растягивающее, другое — сжимающее (рис. 2).

Так как отличны от нуля два главных напряжения, то сдвиг представляет собой частный случай двухосного напряженного состояния.

Из формулы

tg2ψ₀=2τ/(σ_β–σ_α)

следует, что главные площадки наклоне­ны под углом 45° к направлению площадок чистого сдвига (рис. 2). Действительно, при σ_α=σ_β=0 получим tg2ψ₀=∞, сле­довательно, ψ₀=45°.

Рисунок 2

Рассмотрим теперь деформации при сдвиге. Элемент КВСD, прямоугольный до деформации (рис. 3, а), после деформации сдвига примет вид КВ'С'D (грань КD считаем закрепленной).

Угол γ₁ называется угловой де­формацией или углом сдвига.

Рисунок 3

Опыты показывают, что для многих материалов до известных пределов нагружения между напря­жениями и деформациями при сдви­ге имеет место линейная зависимость

γ=τ/G , (1)

которая выражает закон Гука при сдвиге. Постоянную G называют мо­дулем сдвига (модулем упругости второго рода); он характе­ризует способность материала сопротивляться деформации сдвига.

Линейная зависимость между τ и γ справедлива до тех пор, пока касательные напряжения не превзойдут предела пропорци­ональности при сдвиге. Из формулы относительного изменения объема

v=(V₁–V₀)/V₀=ε₁+ ε₂+ ε₃=(1–2ν)(σ₁+ σ₂+ σ₃)/E

видно, что при чистом сдвиге объемная деформация v равна нулю, так как σ₁= τ; σ₂=0; σ₃ = - τ.

Из свойства взаимности касательных напряжений легко установить свойство взаимности угловых деформаций. Действи­тельно, если закрепить грань КD (рис. 3, а), то получим для угла сдвига

γ₁= τ/G. (1а)

Закрепив теперь грань КВ' (рис. 3,б), получим для угла γ₂

γ₂= τ/G. (16)

Так как равны правые части, то равны и левые, т. е.

| γ₁|=| γ₂| (1в)

Следовательно, угловые деформации двух взаимно перпен­дикулярных площадок равны по значению и противоположны по знаку (свойство взаимности угловых деформаций).

Таким образом, картина перемещений элемента 1234 в ре­зультате линейных и угловых деформаций представлена на рис. 3, г.

Можно представить, что сначала элемент 1234, как абсолют­но жесткий, перемещается в положение 1'2'3'4', поворачиваясь на угол α. Затем в результате линейных деформаций происходит удлинение сторон 12 и 43 и укорочение сторон 14 и 23. В резуль­тате угловых деформаций происходит поворот сторон 1'4' и 4'3' на равные по величине и противоположные по знаку углы γ, так что окончательно элемент 1234 будет занимать положение 4'1"2"3" (рис. 3, г).