Решение.
Функция
определена и непрерывна в интервале
(0;+).
В граничной точке
области определения функция имеет
бесконечный разрыв, так как
.
Так
как в точке
функция имеет бесконечный разрыв, то
прямая
является вертикальной асимптотой.
Найдем уравнение наклонной асимптоты
(если
она существует).
;
.
(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).
Итак,
и уравнение асимптоты
.
Таким образом, график имеет в качестве
асимптот оси координат.
Найдем производную функции и критические точки:
.
Стационарная критическая точка:
.
Исследуем знак производной на
интервалах(0;е) и (е;).
е
0
х
+
-
Составим таблицу:
x
(0;e)
e
(e;+)
y`
+
0
-
y
возрастает
max
убывает
Экстремум
функции:
.
Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:
,
при
.
+
-
и
:
-
+
0
х
x
(0;
)
4,48
(
;)
y``
-
0
+
график
выпуклый
точка перегиба
вогнутый
Составим таблицу:
y(
)=3/(
)
0,33
График пересекает ось абсцисс в точке (1;0). Точек пересечения с осью ординат нет.
Строим эскиз графика функции:
е
y
1
х
е
Задание
10. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
на отрезке
.
Решение:
Найдём
область определения функции:
.
Далее, продифференцируем функцию:
.
Найдём критические точки:
.
Одна из них,
,
принадлежит рассматриваемому промежутку.
Определим значение функции в границах
отрезка и в этой точке:
.
Таким образом,
.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Вариант № 1.
Задание 1. Найти пределы функций:
1.1.
.
1.2.
.
1.3.
.
1.4.
.
1.5.
.
1.6.
.
1.7.
.
1.8.
.
1.9.
.
1.10.
.
Задание 2. Исследовать функцию на непрерывность:
.
Задание 3. Найти производные функций:
3.1.
.
3.2.
.
3.3.
.
3.4.
.
Задание
4. Продифференцировать неявно заданную
функцию
.
Задание 5. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание 6. Найти
вторую производную функции
.
Задание
7. Составить уравнения касательной и
нормали к графику функции
в точке
.
Задание
8. Найти производную функции
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание
9. Исследовать функцию
и построить схематически её график.
Задание
10. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
на отрезке
.
Вариант № 2.
Задание 1. Найти пределы функций:
1.1.
.
1.2.
.
1.3.
.
1.4.
.
1.5.
.
1.6.
.
1.7.
.
1.8.
.
1.9.
.
1.10.
.
Задание 2. Исследовать функцию на непрерывность:
.
Задание 3. Найти производные функций:
3.1.
.
3.2.
.
3.3.
.
3.4.
.
Задание 4. Продифференцировать неявно заданную функцию:
.
Задание 5. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Задание
6. Найти вторую производную функции
.
Задание
7. Составить уравнения касательной и
нормали к графику функции
в точке
.
Задание
8. Найти производную функции
с помощью логарифмического дифференцирования.
Задание
9. Исследовать функцию
и построить схематически её график.
Задание
10. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
на отрезке
.