ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Образец решения задач

Задание 1. Найти пределы функций:

1.1. .

Решение:

В данном случае имеем неопределённость вида . Для её раскрытия используем следующее известное свойство.

Пусть дана дробно-рациональная функция , где некоторые многочлены. Тогда:

1. Если степень многочлена больше степени многочлена , то .

2. Если степень многочлена меньше степени многочлена , то .

3. Если степень многочлена равна степени многочлена , то , где числовые коэффициенты при наивысших степенях в данных многочленах.

В данном случае степени числителя и знаменателя равны двум, поэтому .

1.2. .

Решение:

В данном случае снова имеем неопределённость вида . Для её раскрытия используем то же известное свойство, что и в предыдущем случае. Степень числителя равна двум, а степень знаменателя – трём. Поэтому .

1.3. .

Решение:

В данном случае снова имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, преобразуем данную функцию, предварительно разложив на множители числитель и знаменатель: .

1.4. .

Решение:

В данном случае имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, домножим данную дробь на дробь, сопряжённую её знаменателю:

.

1.5. .

Решение:

В данном случае имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, введём подстановку . Заметим, что , при . Получим:

.

1.6. .

Решение:

Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, приведём данную дробь к виду, который допускал бы применение первого замечательного предела .

.

Замечание. При выполнении этого задания и заданий, подобных ему, можно использовать и другие способы решения – например, применить правило Лопиталя или эквивалентность бесконечно малых функций.

1.7. .

Решение:

Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, как и в предыдущем задании, приведём данную дробь к виду, который допускал бы применение первого замечательного предела . Введём подстановку . Заметим, что , при . Получим:

.

1.8. .

Решение:

Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, приведём данную дробь к виду, который допускал бы применение второго замечательного предела .

. Далее, воспользовавшись равенствами и , получим: .

1.9. .

Решение:

Обратим внимание, что в данном случае , поэтому нет необходимости использовать второй замечательный предел, поскольку нет никакой неопределённости, и предел может быть вычислен непосредственно.

.

1.10. .

Решение:

Прежде всего, заметим, что если стремится к единице слева, то будет принимать близкие к нулю отрицательные значения, и выражение , очевидно, стремится к . Тогда: .

Задание 2. Исследовать функцию на непрерывность:

.

Решение:

Найдём область определения данной функции. . Итак, имеем две точки разрыва: и . Теперь определим, каков характер разрыва функции в каждой из этих точек.

Точка является точкой бесконечного разрыва (второго рода), так как: .

Точка является точкой устранимого разрыва, так как:

.

Окончательный ответ: функция непрерывна при ; точка является точкой бесконечного разрыва; точка является точкой устранимого разрыва и .

Задание 3. Найти производные функций:

3.1.

Решение:

.

. 3.2. .

Решение:

Используем правило дифференцирования сложной функции: .

.

Заметим, что этот результат можно было получить, представив функцию в виде .

3.3. .

Решение:

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: . Получим .

3.4. .

Решение:

Снова используем формулу производной сложной функции: . Получим: .

Задание 4. Продифференцировать неявно заданную функцию .

Решение:

Продифференцируем обе части данного уравнения по переменной , учитывая при этом, что является функцией аргумента . Получим:

. Из полученного равенства выразим производной : , откуда .

Задание 5. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:

Решение:

Используем правило дифференцирования функции, заданной параметрически: . Получим: .

Задание 6. Найти вторую производную функции .

Решение:

Сначала находим первую производную: .

Вычисляем вторую производную:

.

Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .

Решение:

Запишем уравнение касательной: . В нашем случае , . Подставляем в уравнение: , откуда - уравнение касательной.

Запишем уравнение нормали: . Подставив в это уравнение числовые данные: , откуда - уравнение нормали.

Задание 8. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования.

Решение:

Запишем общую формулу логарифмической производной: . В нашем случае:

Задание 9. Исследовать функцию и построить ее график: