3. Паралелограм. Ознаки і властивості паралелограма.

Дидактична мета: сформувати уявлення про паралелограм; продовжити формувати навички роботи над теоремами; навчити учнів застосовувати ознаки і властивості паралелограма при розв’язуванні задач.

Розвивальна мета: розвивати в учнів здатність логічно мислити, інтелектуальну активність учнів; розвивати графічні навички учнів.

Дидактичні засоби: креслярські інструменти, кольорова крейда, плакат (кодоскоп і кодопозитиви).

Учні повинні:

Знати: означення паралелограма, його елементи, ознаки і властивості.

Вміти: обґрунтовано виділяти паралелограми серед інших чотирикутників, виконувати його зображення, доводити теореми (ознаки і властивості паралелограма) та застосовувати їх до розв’язування задач.

При вивченні цього пункту бажано повторити означення та властивості вертикальних кутів, внутрішніх односторонніх кутів; формулювання ознак рівності трикутників, означення, властивості і ознаки паралельних прямих; аксіому паралельних прямих. Процес повторення цього матеріалу можна організувати, запропонувавши учням на попередньому уроці домашнє завдання у вигляді списку запитань (на перших етапах доцільно вказати сторінки навчального посібника, на яких вони зможуть знайти відповіді на ці запитання). Ефективності роботи сприятиме актуалізація опорних знань.

Перед введенням означення паралелограма доцільно спочатку показати його існування. Для цього учням можна продемонструвати існування чотирикутника, у якого протилежні сторони паралельні, і запропонувати виконати досить прості вправи.

1. Позначте три точки , , , що не лежать на одній прямій.

а) Чи можна через точку провести пряму , що паралельна прямій ?

б) Чи можна через точку провести пряму , що паралельна прямій ?

2. Доведіть, що прямі і перетинаються. Позначте точку перетину прямих і через .

3. Яку властивість мають протилежні сторони чотирикутника ? У тих випадках, коли перед вивченням даного матеріалу проведена достатня підготовча робота, спрямована на повторення фактичного матеріалу, який використовується при доведенні властивостей паралелограма, після формулювання кожної відповіді теореми можна спиратися на ініціативу учнів, запропонувавши їм відповідні запитання і завдання. Спочатку доцільно обговорити відповіді на ці запитання, а чітке формулювання теореми подати після її доведення. У будь-якому випадку бажано, щоб учитель повторив чітко формулювання теореми і її доведення, акцентуючи увагу учнів на кожному з етапів.

Розглянемо питання, які можна поставити учням при доведенні кожної теореми з метою надати їм можливість проявити більше самостійності.

Теорема 6.1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і в точці перетину діляться пополам, то цей чотирикутник – паралелограм.

Нехай діагоналі чотирикутника перетинаються в точці і діляться точкою пополам (мал.5.).

B C

A D

Мал.5.

1. Порівняйте трикутники і . Чи можна скористатись для цих трикутників якою-небудь ознакою рівності трикутників?

2. Рівність яких кутів випливає з рівності трикутників і ?

3. Чи можна використати яку-небудь ознаку паралельності прямих до прямих і ?

4. Чи можна використати яку-небудь ознаку рівності трикутників до трикутників і ?

5. Чи можна використати яку-небудь ознаку паралельності прямих до прямих і ?

6. Який висновок випливає із паралельності пар прямих і , і ?

Теорема 6.2. Діагоналі паралелограма перетинаються і в точці перетину діляться пополам.

Нехай – паралелограм, – його діагональ, а – середина діагоналі . На продовженні відрізка відкладаємо відрізок так, що (мал.6.).

B C

A

A D

Мал.6.

1. Яким є чотирикутник ?

2. Чи можуть через точку проходити дві прямі, які паралельні прямій ?

3. Чи можуть через точку проходити дві прямі, які паралельні прямій ?

4. Який висновок можна зробити про паралелограми і ?

5. Який висновок можна зробити про точки перетину діагоналей паралелограмів і ?

Теорема 6.3. У паралелограмі протилежні сторони рівні і протилежні кути рівні.

Нехай маємо паралелограм , а – точка перетину діагоналей (мал.5.).

1. Порівняйте трикутники і , а потім відрізки і .

2. Порівняйте трикутники і , а потім відрізки і .

3. Порівняйте трикутники і ,а потім кути і паралелограма.

4. Порівняйте трикутники і , а потім кути і паралелограма.

Завершити вивчення цього пункту доцільно, залучивши учнів до формулювання означення паралелограма, його властивостей і ознак. З метою використання зорових уявлень учнів на цьому етапі можна скористатися плакатом, на якому подано логічну структуру означення паралелограма, його властивостей і ознак (схема 2).

Опуклий чотирикутник

Чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні

Чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні.

Чотирикутник, у якого протилежні кути рівні

паралелограм

Чотирикутник, у якого діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться пополам

Чотирикутник, у якого дві сторони паралельні і рівні

Схема 2

Особливу увагу учнів слід звернути на ознаки паралелограма. Важливо зазначити, що при доведенні того, що чотирикутник є паралелограмом, можна користуватися як означенням паралелограма, так і його ознаками. Інакше кажучи, для доведення, що чотирикутник є паралелограмом, достатньо довести одне з тверджень:

1. протилежні сторони чотирикутника паралельні;

2. діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться пополам;

3. дві сторони чотирикутника паралельні і рівні;

4. протилежні сторони або кути чотирикутника рівні.

Для закріплення матеріалу даного пункту учням можна запропонувати самостійно заповнити таблицю.

Означення паралелограма	Ознаки паралелограма		Властивості паралелограма
	Дано	Висновок	Дано	Висновок
	Діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться пополам	Чотирикутник − паралелограм	Паралелограм	Діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться пополам

Безпосередньо до змісту цього пункту відносять задачі 3 – 23 із навчального посібника [5].