3. Лінійні рівняння та ті, що зводяться до них

У 7-му класі проводиться систематизація та узагальнення розв’язування відомих уже рівнянь. Вводяться поняття “лінійне рівняння” та “рівняння першого степеня”, проводиться дослідження коренів лінійного рівняння ax=b залежно від коефіцієнта а і вільного члена b. Учні розв’язують текстові задачі за допомогою лінійних рівнянь. Далі такі рівняння розв’язуються у зв’язку з вивченням тотожних перетворень цілих виразів та їх застосуванням.

Вивчаючи дію множення одночлена на многочлен, та під час розкладання многочленів на множники з’являються неповні квадратні рівняння.

Розв’язують рівняння, до складу яких входять дроби, знаменники яких є числа, і після перетворень зводяться до лінійних.

На завершення курсу алгебри 7-го класу, вводиться поняття про лінійне рівняння з двома змінними, його графік, систему лінійних рівнянь з двома змінними та способи їх розв’язання.

Теоретичний матеріал цього пункту закріплюється під час виконання вправ.

Звертається увага учнів на те, що при а 0, рівняння ax=b називається рівнянням першого степеня з однією змінною, яке має єдиний корінь х= .

Лінійне рівняння ax=b може мати:

а) єдиний корінь, при а 0;

б) зовсім не має коренів, при а=0;

в) безліч коренів, при а=0 і b=0.

На закріплення пропонуються вправи: які з наведених нижче рівнянь є лінійними, а які – першого степеня?

а) –2х=12;

б) 8у=0;

в) 0z=10;

г) 0х=0.

Розглядаються приклади рівнянь, що не мають або мають безліч розв’язків.

Для учнів з високим рівнем навичок можна запропонувати вправи творчого характеру.

Наприклад: розв’яжіть рівняння

1. ах=5;

2. 5х=а;

3. (а-1)х=7;

4. (с²+2)х=b.

Особливо труднощі викликають рівняння х+х=0, 5у-6у=0. Пропонуються усні вправи: підберіть значення а, при якому рівняння ax=0 має: а) єдиний корінь; б) безліч коренів.

Після розв’язування конкретних рівнянь, які зводяться до лінійних треба зробити загальний висновок (скласти схему розв’язання):

1. звільнитись від знаменників (якщо вони є);

2. розкрити дужки (якщо вони є);

3. перенести члени із змінними в одну частину, а інші в другу;

4. звести подібні доданки, тобто звести рівняння до виду ax=b;

5. знайти х і записати відповідь.

Дається взірець оформлення розв’язання:

- = / 6;

3(3х-1)-2(4х+3)=5х+1;

9х-3-8х-6=1+3+6;

-4х=10;

х=- =- =-2,5.

Відповідь: х=2,5.

Для виховання навичок самоконтролю корисно іноді пропонувати учням виконувати перевірку.

4. Квадратні рівняння

Квадратні рівняння розглядаються у такій послідовності:

1. вводиться поняття квадратного рівняння за допомогою задачі практичного змісту;

2. дається означення квадратного рівняння;

3. розглядають окремі види квадратних рівнянь.

Задача. Довжина прямокутника більша від його ширини на 3 см., а площа дорівнює 10 см². Знайти розміри прямокутника?

х – ширина прямокутника;

(х+3) – довжина,

S=х(х+3);

х(х+3)=10 або х²+3х-10=0.

У цьому випадку потрібно розв’язати рівняння, у яких невідома величина у другому степені

Як бачимо, такі рівняння мають практичне значення. Найпростіші з них, а саме за площею квадрата знаходити його сторону, люди вміли розв’язувати ще в Стародавньому Єгипті.

Тому основна мета нашої роботи на уроці – навчитися розв’язувати такі рівняння. Їх називають квадратними.

Означення. Рівняння виду ax²+bx+c=0, де а 0, х-змінна, називається квадратним.

Після означення розглядаються окремі види квадратних рівнянь. Учні засвоївши означення квадратного рівняння загального виду, самостійно конструюють означення неповних квадратних рівнянь.

1. b=0; c=0; ax²=0;

2. b=0; c 0; ax²+c=0;

3. b 0; c=0; ax²+bx=0;

4. a 0; b 0; c 0; ax²+bx+c=0.

Корисно підкреслити на уроці відмінність, яка існує між поняттями “квадратне рівняння” і “рівняння другого степеня”.

2х²-3х+5=0 – квадратне рівняння,

2ху+3х+5=0 – рівняння другого степеня відносно змінних х і у,

2х²+ -3=0 – учні вважають квадратним рівнянням, бо воно містить х².

Класифікація квадратних рівнянь

Квадратні

рівняння

Інші

Стандартного

виду

Неповні

Повні

Зведені

Незведені

Незведені

Зведені

Розв’язування квадратних рівнянь бажано починати з неповних: ах²=0; ах²+с=0; ax²+bx=0, а тоді ax²+bx+с=0.

Є такі способи розв’язування квадратних рівнянь:

1. графічний спосіб, з яким учні знайомляться у 9-му класі за підручником Бевза, а в 8-му класі за підручником Макаревича у=ах² і у=-bх+с.

Абсциси точок перетину графіків цих двох функцій будуть коренями рівняння. Учні повинні розуміти, що залежно від взаємного розміщення параболи і прямої квадратне рівняння може мати корені, або не мати їх.

2) за допомогою виділення повного квадрата двочлена х²-5х+6=0; (х- ) ²- =0; (х- - )(х- + )=0;

3) за допомогою коренів квадратного рівняння, яка виводиться різними способами.