2. Арифметичні способи розв’язування задач
Проблема розв’язування задач учнями сучасної школи обговорюється у періодичній методичній пресі та на конференціях вчителів, методистів. У статті С.М.Лук'янової «Арифметичні способи розв'язування задач: історія і сучасність» [ ] порушено досить актуальне питання.
Більшість учнів основної школи не вміють розв'язувати деяких типів арифметичних задач, які півсотні років тому легко розв'язували майже всі шестикласники. Йдеться, наприклад, про таку задачу. «У класі 28 учнів. Відношення кількості дівчат до кількості хлопців дорівнює 4\3. Скільки в класі дівчат?». Міркували приблизно так.
Число 28 треба поділити на дві частини, пропорційні до чисел 4 і 3.
4 + 3 = 7, 28 : 7 = 4,4 4 = 16.
Отже, дівчат у класі 16.
Міркували так, бо добре знали алгоритм розв'язування задач на пропорційний поділ. Тепер таких задач більшість учнів основної школи не вміють розв'язувати. Не вміють, бо їх цьому не вчили.
Але учні теперішніх загальноосвітніх шкіл знають і вміють багато такого, чого їхні однолітки півстоліття тому не знали і не вміли. Тодішні випускники середніх шкіл навіть уявлення не мали про похідну, первісну, інтеграл, вектори, рухи, геометричні перетворення тощо. І не вміли розв'язувати сотень таких задач, які теперішні учні розв'язують порівняно непогано. Відбулась не деградація, а переоцінка цінностей: деякі традиційні теми вилучено з програм, щоб вивільнити час для вивчення інших тем. І питання бажано ставити так. Що важливіше: чи арифметичні методи розв'язування задач, алгоритм добування квадратного кореня, ділення впорядкованих многочленів, теорема Безу, чи похідна, первісна, інтеграл, перші відомості про математичну статистику, теорію ймовірностей і т.п.? Що потрібніше: геометрія трикутника і тетраедра, сумірні і несумірні відрізки, чи координатний і векторний методи, геометричні перетворення і практичні застосування геометрії?
Звичайно, зміст і методи навчання в сучасних школах потребують поліпшеня. Щодо арифметичних способів розв'язування задач, то ними бажано розв'язувати тільки два-три типи задач: на пропорційний поділ, на знаходження чисел за відомими їх сумами та відношеннями, за сумами та різницями. Учням доцільно показувати, як розв'язувати такі задачі арифметично, за допомогою рівнянь і користуючись діаграмами.
Чому
більшість учнів основної школи не вміють
розв'язувати задач на пропорційний
поділ? Сталося це не випадково. У
дореволюційних виданнях «Систематичного
курсу арифметики» А.П.Кисельова задачам
на пропорційний поділ відводився окремий
параграф, але пропонувався некоректний
спосіб їх розв'язування. Ось як, наприклад,
пропонувалось поділити число 968 на
чотири частини, пропорційні до чисел
.
«Насамперед замінимо даний ряд дробових чисел рядом цілих чисел...
Ці рівності неправильні (перевірте!). Основна властивість відношення не поширюється на «відношення трьох чи більше чисел» Наприклад,
30:20:50 3:2:5,
бо 30: 20 : 50 = 0,03, а 3 : 2: 5 = 0,3.
Взагалі, якщо числа а, b, с і k додатні, то рівність a:b:c = ka:kb:kc правильна тільки тоді, коли k = 1.
Доведення і використання цієї властивості для багатьох шестикласників виявились важкими. Тому автори підручників, що створювалися пізніше, відмовилися від розгляду властивості рівних відношень. Одні повернулися до «відношення трьох чи більше чисел», інші взагалі перестали розглядати задачі на пропорційний поділ. Немає цього типу задач у підручниках з математики Н.Я.Віленкіна та ін., за редакцією Г.Янченко. Не було його і в програмах до 2001р. Тому не слід і дивуватися, що багато учнів загальноосвітніх шкіл не вміють розв'язувати таких задач.
Задача. Дріт завдовжки 60 м розрізали на три частини, довжини яких пропорційні до чисел 2, 3 і 5. Знайдіть довжини цих частин дроту.
Розв'язання
Якщо шукані довжини пропорційні до чисел 2, 3 і 5, то вони дорівнюють 2n, 3n і 5n , де n — деяке число. Отже,
2n + 3n + 5n = 60,
10n = 60, n = 6.
Тоді 2n = 12, 3n = 18, 5n = 30.
Відповідь. 12 м, 18 м і 30 м.
Після того як розв'язали одну-дві задачі, бажано сформулювати загальне правило. Щоб поділити число на частини, пропорційні до даних чисел, потрібно поділити його на суму иих чисел і знайдену частку послідовно помножити на кожне з них.
Задачі на знаходження двох чисел за їх сумою і відношенням — окремий (найпростіший) вид задач на пропорційний поділ, їх, як і задачі на знаходження чисел за їх сумами і різницями, також корисно розв'язувати арифметичне і за допомогою рівнянь. А ще — за допомогою найпростіших діаграм. Для багатьох учнів таке «наочне» розв'язання найзрозуміліше і найпереконливіше. Корисне воно і в методологічному плані. Адже математика — це наука про математичне моделювання. І коли учні 5—6-х класів ознайомлюються з кількома зрозумілими їм математичними моделями, це добре.
Отже, наша пропозиція щодо арифметичних способів розв'язування задач така. Учням бажано пояснити, як можна арифметичними способами розв'язувати два-три типи задач. Але – не тільки арифметичними. Повертатися до архаїчних способів розв'язування інших типів арифметичних задач за старими правилами (просте потрійне правило, складне потрійне правило, ланцюгове правило, правило переводу), які розглядалися в підручнику Кисельова, не потрібно. Звичайно, якщо вчитель має вдосталь часу і бажання ознайомити учнів із давніми методами розв'язування арифметичних задач, він може розглянути і кілька інших «правил»: потрійне зворотне, двох положень, фальшиве, сліпе або дівоче і т. ін. Але такі питання краще розглядати в позаурочний час.