Вправи I групи

I. Прочитайте умову задачі і дайте відповідь на питання.

Задача. Теплохід “Шевченко” за годину проходить відстань у 5 разів більшу, ніж катер. Скільки кілометрів за годину проходить кожний з них, якщо сума їх швидкостей дорівнює 90 км/год?

Питання до задачі:

1. Назвіть величини, які зв`язані наступними залежностями:

а) одна більше другої у 5 разів;

б) одна менша другої у 5 разів;

в) як по іншому називається відстань, яку проходить тіло за 1 год?

г) якою ще залежністю зв`язані швидкості теплохода і катера?

2. Якщо катер проходить х км/год, то як можна тлумачити вирази6 5х, 5х+ х? Значення якої із поданих тут величин відомо в умові задачі?

Довідковий матеріал

II. Команда школярів виграла 16 змагань, програла 6 і зіграла в нічию 2.

Задача 1. Використовуючи довідковий матеріал заповніть пропуски у тексті задачі.

Футбольна команда школярів виграла на ... змагань .... , ніж програла; число програних змагань в ... числа змагань, зведених в нічию, Скільки проведено змагань, якщо нічиїх було на ... ніж програних?

Довідковий матеріал

III. Морська черепаха може прожити 100 років, крокодил – 300 років, а кит – 50 років.

Задача 2. Заповніть пропуски в умові задачі.

Морська черепаха може прожити ... ніж крокодил і ... ніж кит. Скільки років може прожити черепаха, якщо кит може прожити ... ніж крокодил?

IV. Не розв`язуючи задачі, встановіть, чи можуть при правильному розв`язанні бути результати дані у таблиці.

Клас	Кількість посаджених дерев (в шт)
V	12	7	8	6	- 6
VI	5	5	6	10	- 4
VII	3	7	5	3	29

Задача. Учні трьох класів посадили разом біля школи 19 фруктових дерев. 5-класники посадили на 2 дерева більше, ніж 6-класники і на 3 штуки більше, ніж 7-класники. Скільки штук дерев посадили учні кожного класу.

V. Прочитайте умову задачі і дайте відповідь на питання.

Задача. Літак доставив групу школярів на полярну станцію із Львова. Першого дня він пролетів відстань, у 5 разів більше, ніж 3-го дня, а 2-го на 500 км більше, ніж 3-го. Яку відстань пролетів літак кожного дня, якщо відомо, що 1-го дня він пролетів відстань у 2 рази більшу, ніж за останні два дні?

Питання до задачі:

1. Якого дня польоту літак пролетів найбільшу відстань?

2. У який день польоту літак пролетів найкоротшу відстань?

VI. Не розв`язуючи задачі, виберіть із довідкового матеріалу відповіді на її питання.

Задача. Голуб, шпак і попугай у сумі можуть прожити 195 років. Голуб може прожити на 5 років більше, ніж шпак, а попугай у 5 разів більше, ніж шпак і ще 15 років. Скільки років може прожити голуб?

Довідковий матеріал

25 років, 40 років, 30 років.

Вправи II групи

1. Відомо, що швидкість велосипедиста 12 км/год і що він проїхав 18 км. Який зміст має вираз 18 : 12?

2. Прочитайте умову задачі і визначіть яким із даних виразів можна надати зміст, використати умову цієї задачі, а яким – ні.

Задача. Скільки літрів води дає джерело за 1 годину, якщо туристи замітили, що трилітрова банка наповнюється за 6 секунд?

Дані вирази: 3 : 6; (3 : 6) х 60; 6 : 3; 6 - 3; (3 : 6) х 60 х 60; 6 + 3.

Заповніть пропуски в умові задачі, якщо відомо, що її розв`язок зводиться до роз’язку рівняння 8 х + (х + 16) 8 = 96.

Задача. Із двох міст ... вийшли одночасно назустріч один одному два поїзди і зустрілися через 8 год після виходу. Знайти швидкість кожного поїзда, якщо один проходив за годину на 16 км більше ніж другий.

3. Заповніть пропуски в умові задачі, якщо відомо, що її розв`язок зводиться до роз`язку рівняння 4,5 х + 3,25 (120 – х) = 440

Задача. На пароплав продано 120 квитків першого і другого классів на суму 440 грн. Квитки першого класу продавали по 4 грн. 50 коп., а квитки ... . Скільки було продано квитків першого і другого класів окремо?

4. Прочитайте умову задачі і визначіть до розв`язування яких із даних рівнянь зводиться її розв`язок.

Задача. На шкільній математичній олімпіаді було запропоновано 8 задач. За кожну правильно розв`язану задачу зараховували 5 балів, а за кожну нерозв`язану списували 3 бали. Скільки завдань правильно розв`язав учень, яещо він одержва за свою роботу 24 бали?

Дані рівняння: 5х – 3(8 – х) = 24; 5х = 24; 5(8 – х) – 3х = 24;

5х – 3(8 + х) = 24; 3у = 24; 5х + 3(8 – х) = 24.

5. Прочитайте умову задачі і доповніть дані вирази до рівняння, до яких звлдиться розв`язування задачі.

Задача. З протилежних кінців стадіону довжиною 180 м біжать назустріч один одному два хлопчики. Через скільки секунх вони зустрінуться, якщо почнуть біг одночасно, і якщо один пробігає 9 м/с?

Дані вирази: 9х + ... = 180; 180 ... ... = 6х; ... ... 9х = ... .

6. Встановіть умову задачі, якщо відомо, що її розв`язок зводиться до розв`язку рівняння х + х/3 + 2х/3 = 3

Відомо, що рибак ловив у неділю рибу три рази: ранком, вдень і вечером. Зранку зловив х кг риби, вдень -2х/3 кг риби, вечером- х/3 кг риби.

7. Придумайте самі задачу, розв`язок якої зводиться до розв`язку рівняння х + х/3 + 2х/3 = 3

Така система вправ є тільки доповненням до вправ, що використовуються у школі при навчанні розв`язувати задачі за допомогою рівнянь. Ці вправи можна використати у роботі з усім класом, але більш всього вони потрібні у роботі із слабими і середніми учнями. Варто такі вправи пропонувати системно для усного розв`язування.

Підсумком аналізу умови задачі повинен стати вибір методу її розв’язання. Основна мета роботи вчителя на цьому етапі полягає в тому, щоб виховати у учнів «відчуття методу». Вони повинні не тільки користуватися двома знайомими їм методами – алгебраїчним і арифметичним, але і навчитися свідомо віддавати перевагу одному з них у конкретній ситуації. Зупинимося детальніше на кожному з цих методів і оцінимо їх з погляду розвиваючих можливостей.

Що стосується алгебраїчного методу, то дотепер залишається спірним питання про те, коли і на якому задачному матеріалі потрібно знайомити з ним учнів. У діючому курсі цей метод вводиться з I класу паралельно з розв’язуванням рівнянь. Але в I—III класах немає задач, для яких метод алгебраїчного розв’язування був би природнім. За допомогою рівнянь розв’язуються задачі, що піддаються простому, іноді усному виконанню. Тому алгебраїчний метод виконує в курсі початкової школи другорядну роль.

Інше відношення до нього в V-VI класах. З одного боку, учні що вчаться в початковій школі вже набули елементарні навички розв’язування задач складанням рівнянь, які потрібно підтримувати. З другого боку, систематичний курс алгебри VI класу потребує організації пропедевтичної роботи. Таким чином, в курсі V-VI класів алгебраїчний метод стає повноправним. До того ж він володіє декількома перевагами в порівнянні з арифметичним: його оформлення коротше, а міркування простіші. Діти легко його сприймають. Часто доводиться спостерігати, як, прочитавши умову задачі, учень, не замислюючись, починає: «За х приймемо...» На думку деяких методистів, прогресивність алгебраїчного методу якраз і полягає у тому, що він дозволяє «економити мислення». [ ] Дійсно, цілком природним здається прагнення не ускладнювати справу довгими міркуваннями, які характерні для арифметичного методу.

Проте окрім очевидних переваг алгебраїчного методу він володіє не такими явними, але украй серйозними недоліками. Наприклад, під час розв’язування задач алгебраїчним методом не відбувається інтенсивного напрацювання таких важливих навиків, як розчленовування проблеми на підзадачі, їх окреме розв’язування усередині загальної структури, проведення поетапних логічно строгих міркувань. А саме ці навики, будучи не тільки загальнонавчальними, але і загальнонауковими, в значній мірі визначають рівень загальної культури людини.

Арифметичний метод вільний від тільки що вказаних недоліків, але він вимагає великих витрат часу. Прагнучи заощадити час, вчителі переносять основну вагу на обчислювальний аспект, від чого задача за значенням і формою наближається до обчислювальної вправи. Наслідки такого формального підходу найважчі – текстова задача все більше втрачає свою основну функцію – розвивати в учнів здатність аналізувати, міркувати, обгрунтовувати.

Спостереження показують, що більшість учнів V-VI класів, не може прослідкувати хід розв’язування задач від початку до кінця, не виконуючи обчислень. Діти не в змозі провести поетапні міркування типу: «Для того, щоб з'ясувати ... потрібно знати... Нам відомо, що...» і т.д. Пояснення не тільки всього етапу розв’язування, але і окремих його частин викликає в учнів серйозні утруднення. Відзначимо, що в початковій школі учні міркують краще, але без необхідної підтримки і розвитку цей навик втрачається. Адже учням V-VI класів належить проводити 4-5-крокові міркування з перших уроків геометрії в VIІ класі. Курс V-VI класів дає останню можливість реалізувати величезний розвиваючий потенціал арифметичного методу через масове розв’язування задач. У старших класах на перший план вийде алгебраїчний спосіб, а арифметичний — застосовуватися практично не буде.

Наведемо для порівняння три задачі з підручника для V класу.

Задача 4. Для фарбування стін було витрачено 4 однакові банки білил і ще 3 кг зеленої фарби. Всього було витрачено 19 кг фарби. Скільки кілограмів білил було в кожній банці?

Ця задача в підручнику забезпечена вказівкою: «Розв’яжіть за допомогою рівняння».[ ] Проте арифметичне розв’язання зовсім не складне (складається тільки з двох кроків), тому в даному випадку нав'язувати алгебраїчний метод здається недоцільним.

Задача 5. Кусок полотна довжиною 10,4 м треба розрізати на дві частини так, щоб в одній частині було на 1,6 м більше, ніж в іншій. Скільки метрів полотна буде у другій частині?

Зауважимо, що задачі, фабули яких будуються на розрізанні кусків тканини або дроту, розпилюванні дощок і труб, є пропедевтичні для аналогічних геометричних задач про відрізки. Тому як графічну інтерпретацію можна використовувати відрізок з відповідними буквенним позначенням. Розглянемо два способи розв’язування.