Удосконалення «Начал» Лежандром

Першим, хто наважився взятися за серйозну переробку «Начал» Евкліда, був видатний французький математик, член паризької Академії наук Адрієн Марі Лежандр (1752–1833). У 1794 р. він опублікував підручник «Початки геометрії», який пізніше багато разів перевидавався і був перекладений багатьма мовами. Основною перевагою цього підручника, порівняно з «Началами» Евкліда, було суттєве спрощення викладу завдяки використанню алгебраїчної символіки та алгебраїчних методів доведення.

Лежандр народився в Тулузі. У 1744р. закінчив Колеж Мазаріні. У 1775-1780 рр. обіймав посаду професора Паризької військової школи. З 1788 по 1815р. був екзаменатором у знаменитій паризькій Політехнічній школі, а з 1816р. став професором цього навчального закладу.

Навіть з цих скупих біографічних відомостей видно, що Лежандр добре знав практичне викладання і ті труднощі, з якими стикаються слухачі при опануванні, а викладачі — при викладанні математики. Саме це й дозволило йому створити неперевершений для свого часу підручник з основ геометрії.

Звичайно, Лежандр багато в чому слідує за випробуваними часом «Началами» Евкліда. Водночас він різко пориває з Евклідовою традицією протиставляти геометрію арифметиці й алгебрі в питаннях порівняння і вимірювання величин. «Багато з наших доведень, — пише Лежандр у своєму підручнику, — ґрунтуються на простих правилах алгебри... У випадку виникнення труднощів добре звернутися до підручників з алгебри і поєднати таким чином вивчення обох цих наук».

Після підручника Лежандра невдовзі почали з'являтися все нові і нові книги з геометрії для викладання в школі. Тривала епоха домінування «Начал» Евкліда завершилася.

Окрім удосконалення курсу елементарної геометрії, Лежандр працював у всіх сферах тогочасної математики, досягнувши видатних результатів. Викладацьку і наукову діяльність він поєднував зі службою в Бюро довгот (у 1813-1833 рр.), провівши, зокрема, перевірку усіх (!) обчислень, пов'язаних з визначенням довжини земного меридіана.

«Начала» Евкліда і проблема паралельних прямих Початок у філософії: Евклід і Зенон

Поряд із безсумнівним авторитетом «Начал» Евкліда в царині освіти, в сферах суто наукових проводилися постійні пошуки їх удосконалення. Основний напрямок цих пошуків визначила так звана проблема паралельних прямих.

Як відомо, уся теорія паралельності як у планіметрії, так і в стереометрії, базується на аксіомі про паралельні прямі. В сучасній формі ця аксіома стверджує, що через точку поза прямою у площині проходить єдина пряма, паралельна даній.

Ц ілком ймовірно, що якби ця аксіома в такій формі була прийнята і в «Началах» Евкліда, то ніякої проблеми і не виникло б. Але в часи Евкліда прямими називали не «сучасні» прямі — як нескінченні фігури, а обмежені частини цих прямих — відрізки. Зрозуміло, що таких «прямих», паралельних прямій а, у площині через дану точку А проходить безліч (рис. 1). Хоч всі вони й лежать на одній нескінченній прямій, паралельній даній прямій а, але відсутність у грецькій математиці поняття нескінченної прямої не дозволяло сформулювати це твердження в такій простій формі.

Узагалі, антична наука до поняття нескінченності, в якій би формі воно не виникало, ставилася з надзвичайною настороженістю і всіляко намагалася його уникати. Допускалася, і то з «великою неохотою», лише так звана потенціальна нескінченність, під чим розумілася можливість певної величини ставати все більшою і більшою. Зокрема, одним з Евклідових постулатів утверджується положення про те, що яку-небудь пряму (тобто відрізок у сучасному розумінні) можна продовжити в обидва боки як завгодно далеко. Актуальна ж, тобто уже реалізована нескінченність, приховувала в собі логічні парадокси. Тому її намагалися обминати.

Ще в V ст. до н.е., тобто задовго до Евкліда, філософ Зенон Елейський (з міста Елеї) вразив усіх мудреців своїми апоріями (тобто запереченнями), які надзвичайно переконливо проілюстрували можливість виникнення непереборних логічних труднощів при оперуванні з поняттям актуальної нескінченності. Тому-то це поняття потім так ретельно і обминалося.

Свої апорії Зенон подавав у вигляді логічних парадоксів, які виникали при явному чи неявному (завуальованому) ужитку поняття актуальної нескінченності. Наведемо три найвідоміші з апорій Зенона.

В апорії з умовною назвою «Ахіллес» «стверджується», на противагу очевидності, що прудконогий герой Троянської війни Ахіллес ... ніколи не наздожене черепаху, якщо та знаходиться від нього на деякій відстані а. Справді, каже Зенон, поки Ахіллес подолає відстань а, черепаха відповзе на деяку відстань , поки Ахіллес подолає відстань , черепаха відповзе на відстань і т.д. до нескінченності. Виходить, що Ахіллес так і не наздожене черепаху.

В апорії «Стріла» аналізується політ стріли, випущеної з лука. Якщо час її польоту умовно розбити на нескінченну кількість моментів, то в кожний з цих моментів вона займатиме певний простір, отже, буде нерухомою у цьому просторі. Але якщо стріла нерухома у кожний момент часу, то вона нерухома і взагалі, тобто не летить.

В апорії ж «Дихотомія» (дослівно — «ділення навпіл») «обґрунтовується» неможливість взагалі будь-якого руху. — Адже щоб подолати відстань а, — каже Зенон, — потрібно спочатку подолати половину цієї відстані, тобто a/2, потім — половину цієї половини, отже a/4, і т.д. до нескінченності. В результаті приходимо до висновку, що рух не може навіть розпочатися.

Як тут не згадати з О.С. Пушкіна: «Немає руху, — мовив мудрий бородань. А інший мовчки перед ним ходив». Але Зенон і не думав заперечувати очевидного. Його метою було вказати лише на логічні труднощі, які виникають у зв'язку з поняттям актуальної нескінченності. Тому-то це поняття обходив і Евклід.

Евклід знайшов таку форму аксіоми про паралельні прямі, яка була прийнятною для обмежених прямих-відрізків. Відповідне твердження Евклід розмістив серед постулатів під номером п'ять. Тому воно ввійшло в історію математики як V постулат Евкліда.