Евклід і його «Начала»

Першим підручником з математики, який повністю зберігся до наших днів, були «Начала» Евкліда. Щоправда, сучасні дослідники мають справу не з оригінальним текстом Евкліда, а з перекладами «Начал» на арабську мову. Коли на уламках античної цивілізації арабські халіфи збудували свою державу, вони дуже мудро повелися з культурним надбанням підкорених народів, повністю перейнявши його. Зокрема, були перекладені арабською мовою праці найвидатніших грецьких учених Арістотеля, Архімеда, Аполлонія, Птоломея і, звичайно ж, Евкліда. Здебільшого саме завдяки арабським перекладам ці твори і дійшли до нас.

Про самого Евкліда відомо дуже мало. Народився він в Афінах і замолоду навчався у Платона або (це ймовірніше) в Арістотеля. Пізніше перебрався в Олександрію — грецьку колонію на єгипетському узбережжі Середземного моря, засновану Олександром Македонським. Переїхати до Олександрії його спонукав тамтешній цар Птоломей І — засновник великої правлячої династії. Птоломей І увійшов в історію як цар-просвітник. До Олександрії були запрошені учені мужі з усього світу. Тут при храмі Муз — дев'ятьох легендарних супутниць бога Аполлона, які опікувалися науками та мистецтвами, було побудовано великий палац Мусейон, де на повному державному утриманні жили вчені, займаючись науковими дослідженнями, філософією, поезією і мистецтвом. До їхніх послуг була також величезна бібліотека, у якій зберігалося 500 000 сувоїв наукових і мистецьких праць. На початку III ст. до н.е. сюди прибув Евклід. Працюючи в бібліотеці Мусейону, а можливо, й викладаючи геометрію його мешканцям, Евклід і створив свої «Начала».

Про відданість Евкліда науці свідчить така легенда. Нібито один з тих, хто щойно почав навчатися в Евкліда геометрії, опанувавши першу теорему, спитав учителя: «А скільки я зможу заробити, вивчивши все це?» Тоді Евклід покликав раба і наказав: «Дай йому три оболи (обол — дрібна монета), бо цей сіромаха хоче заробити гроші своїм навчанням». Антична наука була аристократичною, її завданням був пошук істини заради самої істини. Будь-який практичний зиск вважався недостойним справжнього мудреця. Лише софісти навчали за гроші. Тому ставлення до них було не вельми прихильним. Вищенаведена легенда увійшла до «Каталогу грецьких геометрів», складеного неоплатоніком Проклом Діодохом Візантійським у V ст. н.е., тобто через сім століть після смерті Евкліда. Протягом деякого часу Прокл жив і працював у тій же Олександрії, що й раніше Евклід.

На два століття випереджає Прокла інше авторитетне свідчення про Евкліда, залишене олександрійським математиком Паппом. Повір'я, яке передає Папп, змальовує Евкліда як людину винятково чесну, тиху і скромну, повністю вільну від гордощів та егоїзму.

І Папп, і Прокл склали свої коментарі до «Начал» Евкліда, запропонувавши удосконалення окремих доведень з метою надання їм більшої обґрунтованості та для легшого засвоєння.

Слід зазначити, що спроби укладання підручників для початкового ознайомлення з геометрією робилися і до Евкліда. Про це повідомляється в деяких історичних джерелах. Але твір Евкліда виявився настільки змістовним і досконалим, що після його оприлюднення про інші швидко забули. Тому-то жоден з них і не зберігся.

Своїм твором Евклід подав класичний зразок для побудови не тільки математичних, але й інших наукових теорій. За цим зразком спочатку наводиться перелік основних понять і відношень даної теорії, далі формулюються основні властивості цих понять і відношень (аксіоми), потім вводяться нові означення, доводяться нові теореми і т.д.

Як виявилося, цією логічною схемою можна послуговуватися і в інших науках. Тепер це називається аксіоматичним методом і є досить поширеним засобом наукового пізнання. Сам Евклід вдався до аксіоматичного підходу в оптиці, написавши про це спеціальний твір. Пізніше Архімед таким способом викладав окремі питання механіки. Класичним втіленням аксіоматичного методу поза математикою стала фундаментальна праця Ньютона «Математичні начала натуральної філософії», в якій, зокрема, виводяться, як теореми, закон всесвітнього тяжіння та закони Кеплера для руху планет навколо Сонця. Як і Евклід, Ньютон також спочатку формулює аксіоми механіки, а потім виводить наслідки з них — теореми. Навіть самою назвою своєї праці, в якій фігурує слово «начала», Ньютон підкреслює свою прихильність до традиції, закладеної Евклідом.

У сучасній науці аксіоматичний метод набуває дедалі більшого поширення. І не суттєво, що аксіоми часто називаються інакше — постулатами, принципами, правилами чи законами. Важливо те, що з цих вихідних положень нові твердження виводяться уже суто логічним шляхом.

«Начала» Евкліда складаються з 13 розділів. Кожен розділ був написаний на окремому сувої пергаменту і в ті давні часи називався книгою. В друкованому вигляді весь твір займає тепер одну книгу обсягом приблизно 400 сторінок.

Перші шість розділів «Начал» були присвячені планіметрії. Наступні чотири — геометричній теорії дійсних чисел та пропорційності. В останніх трьох розділах викладалася стереометрія. Завершувався твір побудовою так званих правильних многогранників, які тоді відігравали ключову роль в філософії природи.

Майже 2,5 тисячі років ознайомлення з геометрією відбувалося винятково за «Началами» Евкліда або за спрощеними варіантами цієї праці. Навіть сучасні підручники мають з «Началами» багато спільних рис. Приміром, і досі планіметрія та стереометрія викладаються окремо, причому приблизно в такому ж порядку і обсязі, що й в Евкліда. Через те й увесь курс геометрії, що вивчається в школі, часто називають евклідовою геометрією.