Кавальєрі

(1598-1647)

Бонавентура Кавальєрі народився в Мілані наприкінці XVI ст. в одному з найзнатніших, але збіднілому сімействі. В юнацькі роки він отримав прекрасну гуманітарну освіту. Тому-то навіть у своїх суто математичних працях Кавальєрі часто застосовує найвишуканіші класичні звороти і метафори. Ось як, наприклад, починається передмова до «Геометрії» Кавальєрі:

«Подібно до того, як незліченному рою бджіл, що навперебій вражають своїми жалами, не вдається відігнати ведмедя, який впивається медом, якщо він хоч трохи скуштував схованих в дереві солодощів, так само, звичайно, не знайдеш того, хто, хоч краєчком губ попробувавши солодощів математичних доведень (яка б сила щонайбільших труднощів, якими ці доведення супроводжуються, не відштовхувала його, ніби частими уколами жал), не прагнув би всіма силами опанувати їх цілком, до повного насичення. О, друже читачу, що звик куштувати ці медові страви! Я пропоную тобі, палаючому пристрастю до цих солодощів, скуштувати плодів, які виросли в мене під час моїх геометричних досліджень».

Ще юнаком Кавальєрі вступив у чернечий орден ієронімітів. Монастир св. Ієроніма знаходився поблизу його дому, і монахи, з якими він постійно зустрічався, справили визначальний вплив на напрямок його освіти. Приблизно у 18-річному віці Кавальєрі перейшов у монастир ієронімітів у Пізі — рідному місті знаменитого Галілея.

У Пізі Кавальєрі зблизився з відомим тоді тамтешнім математиком Кастеллі, який, запримітивши в юнакові виняткове математичне обдарування, спочатку сам направляв його розвиток у потрібне русло, а потім познайомив з самим Галілеєм. Той, переконавшись у справедливості захоплених відгуків Кастеллі, спочатку певний час настановляв Кавальєрі, а коли в 1629 р. в Болоньї з'явилася вакансія по кафедрі математики, написав для нього захоплену рекомендацію, в якій молодий математик ставився «в рівень з Архімедом». Разом з рукописом «Геометрії» цієї рекомендації виявилося досить для зайняття вакансії. На цій посаді з великою шаною Кавальєрі перебував до кінця своїх земних днів. Він написав ще декілька об'ємних і змістовних математичних праць. Але жодна з них з погляду майбутнього уже не зрівнялася з «Геометрією неподільних».

Пам'ятник Кавальєрі поставлено у Мілані в 1844 р. В лівій руці — сфера, на якій зображено сферичний трикутник АВС і записано відношення , що характеризує площу цього трикутника. Сферична геометрія вважалася основним об'єктом досліджень Кавальєрі.

Як Блез Паскаль став геометром

П редмет математики настільки серйозний, що не варто нехтувати жодною нагодою, щоб зробити його ще й трохи цікавим.

Найкращі книги — це ті, при читанні яких кожен вірить у те, що він і сам міг би їх написати.

Міркуючи про речі земні, ми кажемо: потрібно їх пізнати, щоб полюбити.

З «Думок» Блеза Паскаля

Те, що перевершує геометрію, перевершує й нас.

Усе повинно бути доведено, і при доведенні не можна використовувати нічого, крім аксіом та раніше доведених теорем.

Блез Паскаль

Біографи Блеза Паскаля (1623–1662) — різностороннього вченого, філософа, першовідкривача відомого фізичного закону про тиск рідин і газів — розповідають про такий дивовижний факт з його життя. Змалечку, прислухаючись до розмов, що велися в оселі Паскалів під час зібрань провідних тогочасних учених, Блез, звісно, часто чував про геометрію. Тому й запитав у батька одного разу, що то таке. Той, не бажаючи обтяжувати хворобливого і кволого сина ще й математичними заняттями і вбачаючи його майбутнє у вивченні стародавніх мов, неохоче відповів, що геометрія — це, мовляв, така не вельми поважна наука, що вивчає властивості різноманітних паличок, кружечків, коліщаток та інших подібних речей. Проте навіть такого «пояснення» юному Паскалю вистачило для того, щоб самостійно відкрити основи геометрії. Ввівши власну термінологію, креслячи фігури крейдою на підлозі, він самостійно, за допомогою логічних міркувань, дійшов аж до теореми про суму кутів трикутника. Яким же було здивування батька, коли одного разу він застав сина за доведенням непростої геометричної теореми! Батько зрозумів, бо й сам був добрим геометром, що Блез має іскру Божу до математики і вже не лише не перешкоджав, а й всіляко сприяв розвитку синового обдарування.

Цей (без сумніву, дещо прикрашений) епізод яскраво ілюструє дедуктивний характер геометрії. З іншого боку, він красномовно вказує й на основне джерело виникнення геометрії — логічний аналіз мисленнєвих образів предметів, що реально існують у навколишньому світі.

Додамо у зв'язку з цим, що ретельного логічного аналізу потребували навіть найпростіші геометричні поняття (точки, прямої і площини). Ще Евклід у своїх «Началах» давав їм явні означення. Наприклад, точку він означав як «те, що не має частин», а пряму — як «лінію, що однаково розміщена відносно всіх своїх точок»; саму ж лінію Евклід трактував як «довжину без ширини». Але намагання дати чомусь явне означення є спробою підвести це «щось» під поняття, яке вважається відомим. Наприклад, коли ми означаємо ромб як паралелограм, у якого всі сторони рівні між собою, то вважаємо, що поняття паралелограма нам уже відоме. Зрозуміло, що цей процес не повинен тривати нескінченно. Тому в сучасних викладах геометрії він зупиняється на найпростіших поняттях, означень яких у явному вигляді не приймають (інколи неправильно кажуть, що ці поняття взагалі приймаються без означень), а в неявному вигляді означають за допомогою аксіом.

Слід, однак, зауважити, що первісні поняття геометрії є найпростішими тільки з погляду логіки, тобто в тому розумінні, що вони найпростіше означаються — аксіомами, і всі відразу. Натомість із погляду сприйняття, тобто створення в уяві відповідних образів, їх найпростішими не назвеш. Наприклад, уявити обмежений відрізок значно простіше, ніж необмежену пряму. Однак поняття прямої в геометрії є первісним, а поняття відрізка — похідним.

Що ж до відбору самих аксіом, то це в історії геометрії було якщо не найважчою, то, безперечно, найдраматичнішою сторінкою — зокрема, вельми складною виявилася доля аксіоми про паралельні прямі, яку протягом двох тисячоліть намагалися довести як теорему.