7. Момент инерции.

Если ось вращения закреплена, момент импульса относительно этой оси пропорционален величине угловой скорости. Совместим координатную ось с осью вращения и запишем это утверждение в виде:

(49)

причем (ось закреплена), а (момент импульса в общем случае не параллелен угловой скорости (рис. 7)). Коэффициент пропорциональности ме­жду моментом импульса и угловой скоростью в (49) называется моментом инерции. Используя уравнение вращательного движения (47’), для твердого тела можно эквивалентно определить момент инерции как коэффициент пропорцио­нальности между моментом силы относительно закрепленной оси и угло­вым ускорением

(50)

где (ось закреплена).

Если же ось вращения не закреплена, связь между моментом импульса и угловой скоростью усложняется, и приходится обращаться к понятию тензора инерции ,

где . В дальнейшем будем считать ось закрепленной.

Момент инерции системы тел равен сумме моментов инерции тел, состав­ляющих эту систему:

(51)

Здесь индекс нумерует тела системы. Момент инерции материальной точки равен (см. (46))

(52)

где – расстояние от оси до материальной точки, – ее масса. Момент инер­ции системы материальных точек согласно (51)

(53)

Для вычисления момента инерции протяженного тела суммирование в (53) сле­дует заменить интегрированием

(54)

Интеграл (54) – это и есть по своему смыслу сумма бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых в (53), – расстояние от оси до массы . Напри­мер, все точки тонкого кольца (обруча, трубы) находятся на одинаковом расстоянии от оси, проходящей через центр этого кольца перпендикулярно его плоскости. Поэтому момент инерции кольца (обруча, трубы) относительно такой оси равен

(55)

Выпишем результат интегрирования (54) для некоторых других однородных тел. Момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс:

стержня длиной , ось перпендикулярна стержню

(56)

диска (цилиндра) радиусом , ось перпендикулярна плоскости основания

(57)

шара радиусом

(58)

Момент инерции относительно оси, не проходящей через центр масс, можно вычислить при помощи теоремы Штейнера:

(59)

Здесь – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, – момент инерции относительно другой оси, параллельной первой, – расстоя­ние между этими осями, – масса тела.