6. Момент импульса.

Сначала определим более знакомое понятие момента силы. Это вектор, равный векторному произведению радиус-вектора на вектор силы ,

Радиус-вектор проведен из точки, относительно которой определяется мо­мент силы, в точку приложения силы (см. рис. 4). Таким образом, вектор мо­мента силы определяется относительно точки (а не оси). Величина (модуль) этого вектора

где – угол между векторами и , – плечо силы, то есть длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, вдоль которой действует сила (рис. 4). Моментом силы относительно оси называется проекция вектора момента силы на эту ось.

Момент импульса определяется аналогично. Именно, моментом им­пульса частицы называется вектор, равный векторному произведению радиус-вектора , проведенного из точки, относительно которой определяется момент импульса, в точку, где расположено частица, на вектор импульса (рис. 5):

Модуль вектора

(45)

где – угол между векторами и , – плечо импульса, т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, вдоль которой направлен импульс тела. Моментом импульса относительно оси называется проекция век­тора момента импульса на эту ось.

Например, момент импульса материальной точки, движущейся по окруж­ности радиуса R относительно центра этой окружности, равен по величине

(46)

Здесь использована связь . Величина называется моментом инерции материальной точки. Вектор момента импульса в данном случае на­правлен перпендикулярно плоскости движения тела вдоль угловой скорости

(рис. 6).

Производная от момента импульса равна моменту силы:

Здесь использованы определение скорости (2), второй закон Ньютона (27) , а также то, что . Полученное соотношение

(47)

является вторым по счету (первое – второй закон Ньютона) уравнением движения. Его иногда называют уравнением вращательного движения в отли­чие от второго закона Ньютона, который в этом случае называют уравнением поступательного движения. Из уравнения движения (47) следует, что момент импульса частицы сохраняется, если момент действующих на неё сил равен нулю:

Момент импульса системы частиц равен векторной сумме моментов импульсов частиц , составляющих эту систему:

Суммируя уравнения движения (47) каждой из частиц, получим

Моменты сил в правой части можно разделить на моменты внутренних сил и моменты внешних сил

Из третьего закона Ньютона следует, что сумма моментов внутренних сил равна нулю, . Поэтому в уравнении движения системы частиц остаются только моменты внешних сил,

(47’)

Момент импульса изолированных систем (на которые не действуют внешние силы) сохраняется:

Для сохранения момента импульса достаточно, чтобы сумма моментов внеш­них сил равнялась нулю:

(48)

Для сохранения момента импульса относительно оси надо, чтобы проекция суммарного момента внешних сил на эту ось равнялась нулю:

(48’)