ТЕОРИЯ

1. Кинематика.

Кинематика – это раздел механики, предметом которого является описа­ние движения. Тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пре­небречь, называется материальной точкой (частицей). Протяженное тело можно представить как систему материальных точек.

Положение в пространстве материальной точки задается радиус-векто­ром . Радиус-вектор – это вектор, проведенный из произвольно выбранной точки (начала отсчета) в данную точку. Поэтому его проекции на оси декарто­вой системы координат являются координатами данной точки:

(1) где , и – единичные векторы вдоль осей , и . Зависимость радиус-вектора от времени называется законом движения. В декартовой системе координат закон движения определяют функции , , . Вектор , проведенный из начальной точки 1 в конечную точку 2, называется перемеще­нием,

Линия, вдоль которой движется материальная точка, называется её траек­торией. Уравне­ние этой кривой называется уравнением траектории. Путь – это длина траек­тории. Закон движения может быть задан уравнением траектории и зави­симостью пути от времени . В случае плоского движения уравнение траекто­рии часто может быть представлено функцией . Напри­мер, уравне­ние параболы

Скоростью частицы называется производная от радиус-вектора по времени, которая обычно обозначается точкой:

(2)

Как и любой другой вектор, в декартовой системе координат

Производная радиус-вектора (см. (1)), поэтому

(3)

Модуль скорости

(4)

Для модуля скорости можно написать

(5)

где – путь, пройденный частицей.

Ускорением называется скорость изменения скорости:

(6)

(7)

(8)

Движение с постоянным по величине и направлению ускорением называется равноускоренным. В этом случае интегрирование в (6) и (2) дает формулы рав­ноускоренного движения:

(9)

где и – скорость и радиус-вектор в начальный момент времени . В проекции, например, на ось это означает:

(10)

Исключая время, т.е. подставляя из первого уравнения во второе, получаем

(11)

В случае произвольного движения по кривой вектор ускорения можно разделить на две взаимно ортогональные части (рис. 1)

(12)

Здесь – тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траекто­рии, которое является скоростью изменения модуля (величины) скорости

(13)

( направлено вдоль , если скорость увеличивается, и против , если ско­рость уменьшается). Другая часть, , – нормальное ускорение, не равное нулю и для равномерного движения вдоль кривой. Это ускорение направлено перпен­дикулярно касательной к траектории, характеризует изменение направления скорости и связано с радиусом кривизны траектории в данной точке соотно­шением

(14)

В частном случае равномерного движения по окружности нормальное ускоре­ние называют еще центростремительным.

Если тангенциальное ускорение постоянно по величине, интегрирова­нием в (13) и (5) с получаем формулы, аналогичные (9) - (11):

(15)

где – длина траектории.

Если материальная точка движется по окружности радиуса , длина дуги и угол поворота связаны соотношением

,

которое является определением угла в радианах (рис. 2). Угловой скоростью называется производная от угла поворота по времени

(16)

Угловая скорость является векторной величиной и направлена по оси враще­ния (рис. 3). Угловым ускорением называется скорость изменения угловой скоро­сти

(17)

Связь между векторами скорости и угловой скорости такова:

(18)

крестик означает векторное произведение, – радиус-вектор, – радиус окруж­ности (рис. 3). Второе равенство в (18) получается дифференцированием соотношения . Если взять производную от первого равенства в (18), то по правилу дифференцирования произведения

Если ось вращения не меняет направления в пространстве, получившиеся два слагаемых равны тангенциальному и нормальному ускорениям (12)

(19)

(20)

Когда угловое ускорение не зависит от времени, вращение называют равно­ускоренным. В этом случае интегрирование в (17) и (16) с дает формулы равноускоренного вращения:

(21)

(22)

последнее соотношение следует из первых двух (сравните это с (9) - (11), (15)).

Число оборотов связано с углом поворота соотношением

(23)

т.к. один оборот означает поворот на угол . Частота вращения , равная числу оборотов в единицу времени, связана с угловой скоростью соотноше­нием

(24)

которое получается дифференцированием уравнения (23). Период вращения (время одного оборота)

(25)

Единицы измерения в системе СИ скорости, ускорения, угловой скоро­сти и углового ускорения:

=м/с , =м/с² , =1/с , =1/с² .

Размерность частоты формально совпадает с размерностью угловой скорости (см.(25)):

Для различения этих величин иногда выписывают “размерность” угла (рад) и оборотов (об):

Надо лишь иметь в виду, что радианы ( ) и количество оборотов по сути своей – безразмерные величины.