19.Многочлены от одной переменной. Степень многочлена. Равные многочлены. Основные свойства операций сложения и умножения многочленов.

Определение. Многочленом (или полиномом) называют выражение вида:

a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+...+a_n-2x²+a_n-1x+a_n

Где n - любое натуральное число или 0, а a0, a1, ..., an - какие-то действительные числа, называемые коэффициентами многочлена.

Определение. Функция f(x) действительной или комплексной переменной x называется многочленом, если она может быть представлена в виде:

f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+...+a_n-2x²+a_n-1x+a_n

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Операции сложения и умножения многочленов.

При сложении многочленов пользуются следующими правилами:

1) Для того чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Например, 5a – 7a + 4a = 2a.

2) Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Например, 3x + (2a – y) = 3x + 2a – y.

3) Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив на противоположный знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Например, 3x - (2a – y) = 3x - 2a + y.

При умножении многочлена на многочлен пользуются следующим правилом: Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. С помощью букв это правило можно записать следующим образом:

20.Деление многочленов с остатком. Существование и единственность частного и остатка.(без доказательств)

Деление многочлена на многочлен с остатком (столбиком и методом неопределённых коэффициентов).

Теорема. Деление с остатком определено для любой пары целых чисел m и n ( ), причём частное и остаток определяются единственным образом.

Доказательство.

1) Докажем существование. Положим для определённости m > n. Рассмотрим числа n, 2n, 3n, 4n, …..qn, (q+1)n, …. Число m будет находиться между какими-то соседними из этих чисел, пусть это будут qn и (q+1)n (это достаточно очевидно и относится к аксиоматике чисел, то есть принимается без доказательства):

Обозначив , получим доказательство существования.

2) Единственность докажем от противного.

Пусть имеется два разложения: и .

Вычитая одно из другого, получим: ,

Если , то выражение слева не меньше 1, так как . В то же время, выражение справа меньше 1, так как это величина разности двух чисел, меньших 1. Получаем противоречие, откуда следует, что , а значит и , что и означает единственность представления.

21.Значение многочлена. Корень многочлена. Теорема Безу и ее важнейшее следствие. Корень многочлена.

Теорема. Пусть F(x) и G(x) - два произвольных многочлена. Число a тогда и только тогда является корнем уравнения F(x)* G(x) = 0, когда оно является корнем хотя бы одного из уравнений F(x) = 0, G(x) =0.

22.Схема Горнера(вывод формулы).

Схе́ма Го́рнера— алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы мономов (одночленов), при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена, а также вычислить производные полинома в заданной точке. Схема Горнера также является простым алгоритмом для деления многочлена на бином вида .

то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид где Остаток r находится по формуле