17.Возведение комплексного числа в n-ю степень. Формула Муавра.

Пусть . Тогда имеет место формула ,

то есть при возведении в степень модуль возводится в эту степень, а аргумент – умножается на нее.

z^m=|z|^m・(cos mφ+i sin mφ) Формула Муавра

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z1 · z2 = |z1| · |z2| · (cos(Arg z1 + Arg z2) + i sin(Arg z1 + Arg z2)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра: zn = |z|n · (cos(n · (Arg z)) + i sin(n · (Arg z))).

18.Определение комплексного корня n-й степени из комплексного числа. Формула корней из комплексного числа. Геометрический смысл комплексных корней n-й степени из единицы.

Определение. Пусть – произвольное натуральное число. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число , такое, что .

Позже будет доказана следующая теорема, которую мы пока примем без доказательства. Теорема. (О существовании и количестве корней n-й степени из комплексного числа.) Существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа. Для обозначения корней n-й степени из комплексного числа применяют обычный знак радикала. Но есть одно существенное отличие. Если а – положительное действительное число, то по определению обозначает положительный корень n-й степени, его называют арифметическим корнем. Если n – нечетное число, то существует единственный корень n-й степени из любого действительного числа а. При этот единственный корень является по определению арифметическим, при этот единственный корень не является арифметическим, но может быть выражен через арифметический корень из противоположного числа: , где является арифметическим, т.к. . Если n – четное число, то существует ровно два действительных корня n-й степени из положительного числа и они являются противоположными числами, поэтому один из них положительный, его и обозначают и называют его арифметическим, а второй будет отрицательным, противоположным арифметическому и его обозначают .

В любом случае, знак обозначает (при условии, что это выражение имеет смысл) только одно число, один корень. В случае же, если – комплексное число, то для любого натурального числа n выражение всегда имеет смысл и обозначает все множество корней n-й степени из комплексного числа z. Обозначение: , где – все n корней n-й степени из комплексного числа z, так что по определению . В частности, при существуют ровно два корня из комплексного числа z и легко видеть, что, если – квадратный корень из комплексного числа z, то , т.е. оба корня и являются противоположными комплексными числами, поэтому вместо записи применяют запись . Заметим, что если , то . Действительно, допустив противное, мы бы имели равенство , т.е. получили бы противоречие предположению, что .

Корни из единицы

Обобщим соображения из последнего примера: корень -й степени из комплексного числа можно представить в виде произведения

двух сомножителей, первый из которых не зависит от . Числа при имеют очевидный смысл — они являются корнями -й степени из единицы: Также очевидно, что .

Теорема. Множество всех корней n-й степени из комплексного числа z можно представить в виде произведения какого-то фиксированного корня на множество всех корней n-й степени из :

Доказательство. Для справедливость утверждения уже показана. Для она очевидно следует из равенства и цикличности последовательности