1.Определение предела функции в точке. Предел суммы, произведения ,частного двух функций(с док-ом для суммы)

Предел функции - такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

1)Предел суммы двух функций равен сумме их пределов: .

Доказательство:

Пусть  , . Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать:   и  . Следовательно,  , где   - бесконечно малая функция (по свойству бесконечно малых функций). Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать  , или  .

2)Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: .

Предел частного двух функций равен пределу делимого, деленного на предел делителя, если предел делителя не равен:

2.Определение производной, ее геометрический и физический смысл.

Производная- Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.

Если функция   имеет конечную производную в точке   то в окрестности 0  её можно приблизить линейной функцией

Функция   называется касательной к   в точке   Число   является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Пусть   — закон прямолинейного движения. Тогда   выражает мгновенную скорость движения в момент времени   Вторая производная   выражает мгновенное ускорение в момент времени 

Вообще производная функции   в точке   выражает скорость изменения функции в точке  , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью 

3.Пределение касательной к графику функции. Вывод уравнения касательной к графику функции.

Определение

Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x₀ имеет конечную производную f (x₀). Тогда прямая, проходящая через точку (x₀; f (x₀)),имеющая угловой коэффициент f ’(x₀), называется касательной.

График функции f(x)=e^x через точку координатами (0,0)

Пусть х0-абсцисса точки касания,тогда уравнение касательной имеет вид:

Y=e^x0 e^x0(x-x0) так как касательная проходит через (.) (0,0) ,то ее координаты удовлетворяют последнему уравнению:

0=e^x0+e^x0(0-x0)

e^x0-e^x0*x0=0

e^x0(1-x0)=0 e^x0 нет решений или х0=1 ответ. Получим следующее уравнение y=e+e(x-1) or y=ex.

4 теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Теорема. Если функция    дифференцируема в некоторой точке  a, то она непрерывна в этой точке.  Доказательство. По определению производной

Это предельное равенство означает, что выражение под знаком предела можно представить в виде

где  α(x)  – бесконечно малая функция при  x → a. Тогда

Следовательно,     при  x → a. (док-во на всякий случай)

5 производная суммы,произведения,частного двух функций

Производная суммы (разности) функций

Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой.

Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,

Производная произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и

Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.

Производная частного функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

6. Понятие сложной функции .правило вычисления производной сложной функции.

Сложная функция-функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то уявляется С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u). В таком случае говорят, что у является С. ф. независимого аргумента х, а u — промежуточным аргументом. Например, если у = u², u = sinx, то у = sin²х для всех значений х.

Если x - независимая переменная, то справедливы формулы:

1)  ;

2) (a^x)' = a^x ln a,   a > 0,   (e^x)' = e^x;

3) (sin x)' = cos x;

4) (cos x)' = - sin x; 5)  ; 6)  ; 7)  ;

8)  ;