Алгоритм расчета на прочность при вынужденных колебаниях упругих систем с одной степенью свободы

1. Решение статической задачи.

   • Динамическую возмущающую силу заменяем статической, равной её амплитудному значению .

   • Строим эпюру ВСФ от действия согласно виду деформации и определяем положение опасного сечения.

   • Находим максимальное статическое напряжение .

2. Определение коэффициента динамичности (коэффициента усиления колебаний).

• Находим податливость упругой системы методом Мора.

• Вычисляем частоту собственных колебаний по формуле (7.2).

• Определяем частоту вынужденных колебаний , исходя из условий работы электродвигателя.

• Вычисляем коэффициент динамичности (коэффициент усиления колебаний) по формуле (7.1).

3. Запись условия прочности.

• Если вес колеблющейся массы не участвует в колебательном движении, т.е. направлен перпендикулярно направлению движения, то условие прочности имеет вид:

. (7.3)

• Если направление силы тяжести колеблющейся массы совпадает с направлением колебательного движения, то эта статическая сила также участвует в нагружении упругой системы, но не усиливается коэффициентом динамичности. В этом случае конструкция испытывает комбинированное нагружение – и статическое, и динамическое. Тогда, согласно принципу независимости действия сил, максимальное напряжение, возникающее в конструкции, равно:

.

Учитывая (7.3), получим окончательное выражение для условия прочности:

. (7.4)

4. Решение условия прочности согласно поставленной задаче.

• Найденные значения параметров подставляются в условие прочности (7.3) или (7.4), которое решается согласно поставленной задаче, т.е. производится либо поверочный расчет, либо проектировочный, либо расчет на грузоподъемность.

2. Пример решения задачи

Задача

На двухопорной балке, изготовленной из двух равнобоких уголков №4, установлен электродвигатель, вес которого F=0,4 кН. Число оборотов электродвигателя N=500 об/мин, амплитудное значение центробежной силы, возникающей при вращении ротора F₀=0,05 кН. Произвести проверочный расчет на прочность подмоторной балки и определить значение ℓ, при котором возможно наступление резонанса. Сопротивлением среды пренебречь. Допускаемое напряжение [σ] принять равным 160 МПа.

Решение

Прежде, чем приступить к решению задачи, давайте сначала разберемся, что происходит с упругой балкой при заданном нагружении.

До установки двигателя балка находилась в прямолинейном равновесном состоянии:

После установки двигателя (в выключенном режиме), который можно рассматривать как сосредоточенную массу, балка принимает новое изогнутое равновесное состояние:

При этом, на балку действует статическая нагрузка – вес двигателя .

При включенном двигателе к его весу добавляется действие динамической вибрационной возмущающей силы , которая вызывает вынужденные колебания всей упругой системы вокруг изогнутого равновесного состояния:

Направление колебательного движения перпендикулярно осевой линии балки, поэтому колебания являются поперечными. Вид возникающей при этом деформации балки – прямой поперечный изгиб.

Таким образом, расчетная схема балки представляет собой упругую систему с одной степенью свободы, воспринимающую поперечные вынужденные колебания.

Так как вес сосредоточенной массы (двигателя) F по направлению совпадает с направлением колебательного движения, то, согласно пункту 3 приведенного выше алгоритма (стр. 75), условие прочности для нашей балки будет иметь вид (7.4):

.

Выполнение этого условия нам и нужно будет проверить.

Приступим, наконец, к непосредственному решению задачи.

1. Определим геометрические характеристики поперечного сечения балки: осевой момент инерции I_x и осевой момент сопротивления W_x, которые нам потребуются при прочностном расчете.

Поперечное сечение сложное – состоит из двух равнобоких уголков №4:

Оси х и у – главные центральные оси сечения, причем, ось у – силовая линия, а ось х – нейтральная линия. По сортаменту (см. Приложение 4.1, стр. 156) для одного равнобокого уголка №4 находим: , , .

По теореме о суммировании моментов инерции (см. Практикум, часть 1, стр. 27) осевой момент инерции всего сложного сечения равен:

.

Осевой момент сопротивления W_x находим по определению (см. Практикум, часть 1, стр. 34):

.

2. Найдем максимальное статическое напряжение от статического действия силы, равной весу двигателя . Для этого построим грузовую эпюру изгибающих моментов (балка испытывает прямой изгиб) и определим положение опасного сечения.

Максимальный изгибающий момент возникает в сечении С, следовательно, сечение С наиболее опасно. Тогда

.

Таким образом, при выключенном двигателе максимальное напряжение возникает в сечении С балки и равно .

3. Найдем максимальное статическое напряжение от статического действия силы , равной амплитудному значению вынуждающей динамической силы . Рассуждения здесь аналогичные, как и в пункте 2, единственное отличие в том, что вместо силы F в сечении С прикладывается сила . Эпюра изгибающих моментов будет пропорциональна грузовой эпюре , а максимальный изгибающий момент . Тогда

.

4. Найдем коэффициент усиления колебаний .

4.1. Определим податливость упругой системы . Учитывая, что это единичное перемещение, определим его методом Мора. Для этого приложим в точке С в направлении колебательного движения единичную безразмерную сосредоточенную силу и построим единичную эпюру изгибающих моментов . Очевидно, что она тоже будет пропорциональна грузовой эпюре с коэффициентом пропорциональности F. «Перемножив» единичную эпюру саму на себя, получим искомую величину .

Единичная эпюра имеет два участка: АС и СВ. Применяя формулу Симпсона на каждом участке, получим:

.

4.2. Вычислим частоту собственных колебаний по формуле (7.2), учитывая, что масса двигателя , и принимая :

. (7.9)

4.3. Вычислим частоту вынужденных колебаний по заданному числу оборотов электродвигателя N:

.

4.4. Коэффициент усиления колебаний найдем по формуле (7.1):

.

5. Проверим выполнение условия прочности.

Подставим найденные значения всех величин в условие прочности и проверим его выполнение.

.

Таким образом, , следовательно, условие прочности выполняется.

6. Определим значение параметра длины балки l_р, при котором возможно наступление резонанса.

Условие резонанса, как отмечалось выше – это равенство частот вынужденных и собственных колебаний упругой системы: . Частота вынужденных колебаний не зависит от значения параметра l, а частота собственных колебаний связана с параметром l зависимостью (7.5):

.

Подставим это выражение в условие резонанса:

.

Возведем обе части равенства в квадрат и выразим параметр l_р:

.

Таким образом, при в заданной конструкции будет наблюдаться явление резонанса, что может привести к её разрушению.

Внимание! При проектировании подобных конструкций следует избегать резонансных значений её параметров.

Задача решена.