Алгоритм метода сил

1. Определение степени статической неопределимости.

Степень статической неопределимости s определяется по формуле:

,

где r– количество реактивных усилий в заданной системе, k – необходимое и достаточное количество уравнений статического равновесия.

2. Выбор основной системы.

Чтобы получить основную систему необходимо, во-первых, удалить всю заданную внешнюю нагрузку, а, во-вторых, отбросить некоторые связи в опорах конструкции таким образом, чтобы она стала статически определимой, но оставалась при этом кинематически неизменяемой (неподвижной). Это можно сделась несколькими способами, поэтому выбор основной системы неоднозначен.

3. Образование эквивалентной системы.

Эквивалентная система образуется из выбранной основной путем замены отброшенных связей их неизвестными реакциями и приложением заданной нагрузки. Реакции отброшенных связей в методе сил принимают за неизвестные и обозначают: Х₁, Х₂,…,Х_n (для n раз статически неопределимой системы: s=n).

4. Запись условия эквивалентности.

Условием эквивалентности двух систем (эквивалентной статически определимой и исходной статически неопределимой) является отсутствие перемещений раскрепленных точек эквивалентной системы по направлению отброшенных связей (т.е. в направлении действия «лишних» неизвестных).

Для n раз статически неопределимой системы условие эквивалентности в виде системы канонических уравнений метода сил (СКУМС) выглядит следующим образом:

(1.1)

Здесь коэффициенты при неизвестных X_j называются единичными коэффициентами, а свободные члены – – грузовыми коэффициентами. Физическая сущность всех коэффициентов – это перемещения соответствующих точек упругой системы, обозначенных первым индексом, от действия фактора либо единичного, либо грузового, обозначенного вторым индексом.

5. Определение коэффициентов системы канонических уравнений метода сил.

5.1. Построение вспомогательных эпюр всф.

Для определения коэффициентов СКУМС на основной статически определимой системе строятся вспомогательные эпюры ВСФ: грузовая и единичные.

Грузовая эпюра строится на основной системе от действия внешней нагрузки.

Единичные эпюры строятся на основной системе от единичной безразмерной силы, приложенной к каждой точке, с которой снята связь, по направлению этой связи. Т.е. такие единичные силы совпадают по точкам приложения и по направлениям с неизвестными силами Х₁, Х₂,…,Х_n и поэтому для удобства предлагается при построении единичных эпюр нагружать основную систему поочередно X_j=1. Количество единичных эпюр равно количеству лишних неизвестных и равно степени статической неопределимости исходной системы.

Вполне понятно, что вид деформации системы определяет тип внутреннего силового фактора, эпюра которого строится: при растяжении-сжатии – это продольная сила N, при кручении – это крутящий момент M_z, при изгибе определяющим внутренним силовым фактором является изгибающий момент М_х.

Определение коэффициентов производится путем «перемножения» соответствующих вспомогательных эпюр методом Мора.

5.2. Определение единичных коэффициентов СКУМС.

Единичные коэффициенты определяются путем «перемножения» i-той единичной эпюры на j-тую. Для случая деформации «изгиб»:

. (1.2)

Очевидно, что для других видов деформации в формуле (1.2) меняется лишь обозначение внутреннего силового фактора.

5.3. Определение грузовых коэффициентов СКУМС.

Грузовые коэффициенты определяются путем «перемножения» i-той единичной эпюры на грузовую:

. (изгиб) (1.3)

6. Решение СКУМС относительно неизвестных.

Подставляя найденные единичные и грузовые коэффициенты в СКУМС (1.1) (получается система линейных алгебраических уравнений), решают её относительно неизвестных Х₁, Х₂,..Х_n любым известным из курса математики методом.

7. Построение эпюр ВСФ.

Эпюры внутренних силовых факторов исходной статически неопределимой системы строятся методом сечений по эквивалентной статически определимой системе с учетом заданной внешней нагрузки и найденных значений «лишних» неизвестных. Эти эпюры будем называть суммарными и обозначать индексом « ».

8. Деформационная проверка правильности раскрытия статической неопределимости.

Физический смысл проверки заключается в определении перемещения связанной точки, т.е. такой точки упругой системы, перемещение которой заранее известно и равно нулю. Например, перемещения раскрепленных точек эквивалентной системы в направлении отброшенных связей. Эти перемещения находятся путем «перемножения» по методу Мора соответствующей единичной эпюры на суммарную эпюру ВСФ. Если полученные таким образом перемещения равны нулю, то статическая неопределимость раскрыта верно.

Итак, математическое выражение деформационной проверки имеет вид:

(изгиб)

Таким образом, после проведения деформационной проверки считается, что статическая неопределимость заданной системы раскрыта, после чего производится её расчет на прочность и жесткость.

Как рассчитать статически неопределимые системы на прочность и жесткость?

Расчет статически неопределимых систем на прочность и жесткость производится по суммарным эпюрам ВСФ аналогично расчету статически определимых систем с учетом действующего вида деформации (см. Практикум, Часть 1).