Задача 3

Герметически закрытый сосуд высотой Н полностью заполнен водой. На дне сосуда имеются два одинаковых пузырька воздуха. Давление воды на дне – Р₀. Каким будет давление на дно, если оба пузырька оторвутся и всплывут вверх? Если оторвется и всплывет вверх один из пузырьков? Учесть, что Р₀ много больше gH. (6 баллов)

Решение

Т.к. давление воды на дно сосуда Р₀, то давление воздуха в пузырьках, находящихся на дне, также равно Р₀. При всплытии пузырьков их объем не может увеличиться в силу несжимаемости жидкости. Поэтому давление воздуха в пузырьках остается неизменным, т.е. равным Р₀. Но давление воздуха равно давлению воды – следовательно, давление воды вверху сосуда стало равным Р₀, а давление на дно сосуда .

Р ассмотрим ситуацию, когда всплывает один из пузырьков. Пусть объем каждого из пузырьков до всплытия V₀. После того, как один из пузырьков всплывает, его объем становится V₁, а объем пузырька на дне – V₂, причем . Искомое давление на дно сосуда (и в пузырьке V₂) - Р, а давление вверху сосуда (и в пузырьке V₁) - .

Т.к. пузырьки всплывает достаточно медленно, то процессы изменения их объемов можно рассматривать как изотермические. Тогда

(1а)

(1б)

Учитывая, что , из уравнения (1а) имеем . Подставляя это значение отношения объемов в уравнение (1б), получаем:

или

Получено квадратное уравнение относительно неизвестного давления Р. Корни этого уравнения можно записать в виде

Давление на дно сосуда не может быть меньше Р₀. Поэтому выбирается корень со знаком (+). Кроме того учтем, что В результате получаем

Сохраняя величины только первого порядка малости, окончательно получаем

Задача 4

В схеме, показанной на рис. 2, в начальный момент времени ключ К разомкнут, и конденсатор С заряжен зарядом q₀. Ключ замыкают, а когда ток в контуре достигает максимального значения, вновь размыкают. Какой заряд протечет через резистор сопротивлением R? Сопротивление диода в прямом направлении много меньше сопротивления резистора, в обратном направлении его сопротивление принять равным бесконечности. (5 баллов)

Решение

При замыкании ключа конденсатор разряжается через катушку индуктивности. При этом ток максимален, когда заряд конденсатора обращается в нуль. Из закона сохранения энергии следует, что максимальное значение силы тока

Когда ключ размыкают, ток начинает протекать в контуре, содержащим катушку индуктивности, резистор и диод – теперь он оказывается включенным в прямом направлении. Для этого контура , где i – мгновенное значение силы тока. Т.к. , то

или

Переходя к конечным приращениям и учитывая, что сила тока уменьшается до нуля за счет выделения джоулева тепла, получаем

Подставляя значение I, окончательно получаем Задача 5

В закрытом сосуде находится молекулярный азот при температуре 300 К. Увеличение температуры газа на 100 К приводит к увеличению его давления в два раза. Какая часть молекул азота оказалась диссоциированной? (4 балла) Решение

В соответствии с основным уравнением МКТ в начальном состоянии

, (1)

где n₀ – концентрация молекул, а Т₀ – температура в начальном состоянии

При увеличении температуры до величины Т по условию задачи давление газа удваивается, т.е.

(2)

Из уравнений (1) и (2) выражаем n и n₀:

и

Т.к. объем сосуда является величиной постоянной, а молекула азота двухатомная, то относительное число диссоциировавших молекул равно

Подставляя числовые значения, окончательно получаем: