5.Математическое описание сау. Передаточные функции.

5.1.Форма записи линейных дифференциальных уравнений.

При описании автоматических систем управления широко используют символическую форму записи линейных дифференциальных уравнений.

(5.1)

Введем для операции дифференцирования обозначение р, т.е.

;

Используя его, уравнение (5.1.) можно записать в виде:

(5.2)

При записи и преобразовании дифференциальных уравнений оператор

(операцию дифференцирования) р можно рассматривать как алгебраический сомножитель, а выражение ру - как произведение, не обладающее свойством коммутативности: нельзя вместо ру писать ур. Учитывая это замечание, перепишем (5.2), вынеся у и х за скобки:

(5.3)

Введем обозначение , ,

С помощью этих обозначений уравнение (5.3) можно записать в более компактной форме:

(5.4)

В уравнении (5.4) Q(р) (дифференциальный оператор при выходной величине) называют собственным оператором, а R₁(p) и R₂(p) (дифференциальные операторы при входных величинах) – операторами воздействия. R₁(p) – оператор управляющего воздействия. R₂(p) – оператор возмущающего воздействия.

5.2 Стандартная форма записи линейных дифференциальных уравнений.

Обычно линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами не выше второго порядка записывают в стандартной форме. При этом члены, содержащие выходную величину и ее производные, записывают в левой части уравнения, а все остальные члены – в правой; коэффициент при выходной величине делают равным единице. Если в правой части содержаться производные, то члены, содержащие какую-либо одну входную величину и ее производные, объединяют в одну группу и коэффициент при соответствующей входной величине выносят за скобки.

Уравнение (5.1) в стандартной форме принимает вид:

(5.5)

где ; ; ; ; .

В уравнении (5.5) постоянные Т₀ , Т₁, Т₂ имеют размерность времени и их называют постоянными времени, а коэффициенты к₁ и к₂ – передаточными коэффициентами. Если исходное уравнение (5.1) не содержит у (а₂=0), то в стандартной форме коэффициент при производной у должен быть равен единице: обе части уравнения делят на коэффициент а₁.

В символической форме уравнение (5.5) принимает вид:

(5.5)

5.3 Передаточные функции.

Передаточные функции наряду с дифференциальными уравнениями широко используют для описания систем автоматического управления.

Отношение оператора воздействия к собственному оператору называют передаточной функцией в операторной форме.

Звено (система), описываемое уравнением (5.1) или, что то же самое, уравнениями (5.2) – (5.4) можно характеризовать двумя передаточными функциями: передаточной функцией W₁(р) по входной величине х (управляющее воздействие), т.е.

(5.6)

и передаточной функцией W₂(p) по входной величине z (возмущающее воздействие), т.е.

(5.7)

Используя передаточные функции, уравнение (5.1) записывают в виде:

(5.8)

Это уравнение представляет собой, условную, более компактную форму записи исходного уравнения (5.1). Уравнения (5.3), (5.4) и (5.8) называют уравнениями в символической или операторной форме записи.

Наряду с передаточной функцией в операторной форме широко используют передаточную функцию в форме изображений Лапласа.

Передаточной функцией в форме изображений Лапласа называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях, т.е.

(5.9)

Передаточную функцию в форме изображения Лапласа можно получить из передаточной функции в операторной форме, если в последней сделать подстановку р = s. В общем случае это следует из того, что дифференцированию оригинала - символическому умножению оригинала на р – при нулевых начальных условиях соответствует комплексное число s.

Сходство между передаточными функциями в форме изображений Лапласа и в операторной форме чисто внешнее. Оно имеет место только в случае стационарных систем. Если звено (система) является нестационарным, т.е. коэффициенты в (5.1) зависят от времени, выражениями (5.10) пользоваться нельзя.

;

(5.10)

Используя передаточные функции (5.10), уравнение (5.1) в изображениях Лапласа можно записать

(5.11)

Это уравнение адекватно исходному дифференциальному уравнению (5.1) только при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим для примера системы, которые описываются уравнениями ; . Им соответствует передаточная функция . Их решениями при g=t является соответственно ; . Эти решения совпадают только при нулевых начальных условиях. При других начальных условиях они не совпадают и передаточная функция не может служить описанием системы, определяемой первым из приведенных дифференциальных уравнений.

В том случае, если приведена структурная схема САР, можно определить передаточную функцию относительно двух любых точек структуры. Для этого необходимо использовать существующие правила структурных преобразований.