4. Постановка задачи об управлении

В теории управления дифференциальные уравнения, описывающие математическую модель системы управления, принято приводить к нормальной форме (см. Примеры 1.1, 1.2).

Под нормальной системой дифференциальных уравнений понимается система, разрешенная относительно производных искомых функций. Такой системой является первое матричное уравнение системы (1.1). Если система линейно зависит от переменных и имеет постоянные коэффициенты, то систему уравнений можно записать в следующем виде:

(1.25)

или

Решение системы (1.25) относительно называется движением, а путь, описываемый точкой в фазовом пространстве, траекторией этого движения. Таким образом, фазовые координаты позволяют точно определить состояние объекта управления в каждый момент времени.

Одна из основных задач об управлении формулируется следующим образом:

Задача 1. Заданы уравнения движения (1.25), отрезок времени , начальное и конечное значения , , фазового вектора управляемого объекта. Требуется найти возможное управление , , переводящее систему (1.25) из состояния в состояние .

Требуется, следовательно, найти кусочно-непрерывные функции , , при подстановке которых в уравнения (1.25), последние будут обладать решением , удовлетворяющим краевому условию

Задача об управлении, как правило, имеет не одно решение . В выборе функций , удовлетворяющих условиям задачи, возможен большой произвол. В то же время конкретные проблемы обычно содержат дополнительные требования наилучшего (в том или ином смысле) качества процесса. Требование построения наилучшего или оптимального управления процессом может формулироваться в весьма разнообразных формах.

В конкретных задачах, как правило, выбирается некоторая величина, характеризующая затраты ресурсов на осуществление процесса управления. Обычно требуется достичь желаемого результата так, чтобы значение этой величины оказалось минимальным. Эта величина называется критерием оптимальности. Критерий оптимальности, который является числовым показателем качества системы, задается в виде функционала

. (1.26)

Сформулируем теперь общую задачу об оптимальном управлении при минимальном значении ее критерии оптимальности:

Задача 2. Заданы уравнения движения (1.25), отрезок времени , начальное и конечное значения , , фазового вектора и выбран критерий оптимальности (1.26), оценивающий управление. Среди возможных управлений требуется найти оптимальное управление , переводящее систему из состояния в состояние и дающее наименьшее значение критерию .

Таким образом, задача 2 – это задача об оптимальном управлении, которое определяется двумя условиями.

1. Оптимальное управление является возможным.

2. Управление решает задачу 1 и обладает свойством

,

каково бы ни было другое возможное управление также решающее задачу 1.

2. Управляемость и наблюдаемость в линейных системах

1. Постановка задачи об управляемости

Рассмотрим задачу об управляемости многомерными системами, функционирование которых описывается нормальной системой линейных дифференциальных уравнений. Система уравнений в матричной форме имеет следующий вид:

, (2.1)

где – векторы-столбцы размерности и соответственно; – постоянные матрицы размерности и соответственно.

Определение. Система (2.1) называется вполне управляемой, если для двух произвольных точек и из фазового пространства и двух произвольных значений и аргумента существует такая функция управления , при которой решение уравнения (2.1) удовлетворяет условиям и .

Пусть – фундаментальная матрица однородной системы уравнениям (2.1). Тогда матрица импульсных переходных функций и нормированная фундаментальная матрица связаны очевидной зависимостью

. (2.2)

Теорема 2.1. Для того, чтобы система (2.1) была вполне управляемой, необходимо и достаточно, чтобы вектор–строки матриц , были линейно независимыми на всяком произвольном промежутке .

Доказательство теоремы построено на формуле Коши для уравнения (2.1) с начальным условием в следующем виде:

.

Однако необходимые и достаточные условия управляемости системы (2.1), сформулированные в этой теореме, практически трудно использовать для исследования конкретных систем управления в связи с тем, что определение матрицы требует специальных часто непростых вычислений. Поэтому важно установить условия вполне управляемости, выражающиеся через матрицы и .