Министерство образования и науки, молодежи и спорта

Восточноукраинский национальный университет

имени Владимира Даля

Методические рекомендации

к практическим занятиям

по дисциплине "Теория управления"

(для студентов специальности "Прикладная математика")

У Т В Е Р Ж Д Е Н О

На заседании кафедры

прикладная математика

Протокол № от

Луганск 2013

Министерство образования и науки, молодежи и спорта

Восточноукраинский национальный университет

имени Владимира Даля

Методические рекомендации

к самостоятельной и практической работе

по дисциплине "Теория управления"

(для студентов специальности "Прикладная математика")

У Т В Е Р Ж Д Е Н О

На заседании кафедры

прикладная математика

Протокол № от

Луганск 2013

УДК 378.147:51

Методические рекомендации к самостоятельной и практической работе по дисциплине "Теория управления" (для студентов специальности "Прикладная математика")/ Составители: Ю.М. Нефедов, Ю.С. Краснобрыжева, Т.Ю. Балицька.. – Луганск: Изд-во ВНУ им. В. Даля, 2013.– 43 с.

В методичних рекомендаціях пропонується послідовність дій для самостійного виконання логіко-дидактичного аналізу теоретичного матеріалу певної теми, а також зразок логіко-дидактичного аналізу теми "Многокутники" (9 клас).

Составители Ю.М. Нефедов, доц.,

Ю.С. Краснобрыжева, ст.викл.,

Т.Ю. Балицька, ас.

Ответственный за выпуск В.Я. Кучма, доц.

Рецензент С.А. Митрохин, доц.

Теория управления – раздел науки, посвященный изучению динамических управляемых объектов и определению наилучших способов управления ими.

1. Постановка задачи теории управления

1. Определение линейной системы

В настоящей разработке основным объектом исследования является линейная стационарная система, которая описывается системой линейных дифференциальных уравнений следующего вида:

(1.1)

В этих уравнениях – векторы–столбцы размерности соответственно; – называется входом системы или управлением (управляющим воздействием); – выход системы или вектор выходных переменных (выходная величина); – состояние системы или вектор фазовых координат (траектория движения) системы. С другой стороны, – решение системы дифференциальных уравнений (1.1). Управление – это то, что мы можем изменять и выбирать по нашему усмотрению; – следствие этих изменений, наблюдаемое на выходе системы.

Матрицы имеют размерность, соответственно. Элементы этих матриц не зависят от времени, в этом случае система (1.1) называется стационарной.

Соотношение называется уравнением наблюдения линейной системы или уравнением выхода. Оно используется при решении задачи наблюдаемости. При исследовании вопросов устойчивости и управляемости системы это соотношение не учитывается.

Многие вопросы теории управления, связанные с изучением математического объекта, заданного соотношениями (1.1), не имеют аналогов в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, прежде чем изучать математические свойства этого объекта, необходимо ввести терминологию и соответствующие понятия, которые устанавливали бы связь этой математической модели и реальных систем управления.

Множество значений вектора называется пространством состояний и обозначается . Для системы (1.1) совпадает с -мерным векторным пространством .

Вектор называется состоянием системы в момент времени , а координаты этого вектора относительно какого-либо базиса, выбранного в пространстве состояний, называют переменными состояния.

Через обозначим множество моментов времени, для которых рассматривается движение (1.1). Обычно совпадает с отрезком или с полуинтервалом .

Пространство пар называют обычно пространством событий или фазовым пространством. Точка называется событием или фазой системы (1.1). Пространство событий представляет собой множество .

Введем множество мгновенных значений управляющих воздействий . Заметим, что в качестве множества мгновенных значений управлений рассматривается, вообще говоря, неограниченное множество.

Говорят, что входное воздействие переводит (изменяет или преобразует) состояние в состояние . Под движением системы подразумевается изменение во времени ее состояния, т. е. функцию . Размерность линейной системы равна размерности ее пространства состояний, т. е. размерности пространства .

С учетом введенных понятий можно дать определение изучаемого математического объекта.

Определение. Линейной системой с непрерывным временем называется система, описываемая соотношениями (1.1), где при любом ; – постоянные матрицы размерности соответственно, – непрерывная функция времени.

Таким образом, термином линейная система обозначается линейная, конечномерная, динамическая система с непрерывным временем.

Отметим основные моменты идеализации реальных физических систем, допущенные в этом определении.

1. Предполагается, что матрицы системы точно известны. В реальных системах это выполняется редко. Как правило, можно говорить лишь о большей или меньшей степени точности задания этих матриц, а не об их точном знании. Итак, рассматриваются только детерминированные системы.

2. Рассматриваются линейные уравнения. Реальные системы описываются, как правило, нелинейными уравнениями. Однако, исследование линейных систем имеет важное значение по следующим причинам:

а) имеется много динамических систем, движение которых описывается с помощью линейных уравнений;

б) линейная теория имеет законченный вид, разработаны достаточно эффективные численные методы решения линейных задач;

в) с помощью линейной теории можно изучать нелинейные динамические системы в окрестности их номинальных траекторий.

Таким образом, линейная теория служит основой для изучения нелинейных систем.