Электрическая цепь с емкостью

Элементом электрической цепи, обладающим значительной емкостью, является конденсатор. Емкостью обладают любые два проводника, расположенные недалеко друг от друга. Но при малой поверхности их емкость невелика и ею обычно пренебрегают.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника питания и конденсатора емкостью С. Будем считать, что конденсатор имеет идеальный диэлектрик, то есть его активное сопротивление равно нулю. К цепи с конденсатором подведено синусоидальное напряжение , под действием которого в цепи возникает ток i и на каждой пластине конденсатора скапливается заряд , где u_C – падение напряжения на конденсаторе.

По второму закону Кирхгофа для данной цепи имеем . Тогда заряд на конденсаторе

.

Ток в цепи, представляющий собой изменение заряда во времени,

,

или

,

где амплитуда тока

.

Из формулы видно, что ток в цепи с емкостью является синусоидальным и опережает напряжение по фазе на угол π/2.

Величина 1/ωС в знаменателе правой части имеет размерность сопротивления, обозначается X_C и называется емкостным сопротивлением:

.

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте и емкости конденсатора. Таким образом

.

Поделив обе части этого уравнения на , получим выражение закона Ома для действующих значений тока и напряжения:

.

Комплексный ток

.

С учетом этого выражения можно найти соотношение между комплексным напряжением и током в цепи с емкостью:

.

В екторная диаграмма комплексных значений напряжения и тока представлена на этом рисунке

Если в цепь включен конденсатор с емкостью С, то и мгновенное значение мощности

,

которое отличается от мгновенной мощности цепи с индуктивностью только знаком. Изменение мощности для этой цепи показано на рисунке.

В цепи с емкостью также происходит обмен электроэнергией между источником питания и конденсатором. При передаче энергии от источника питания в течение четверти периода энергия запасается в электрическом поле конденсатора, а в течение следующей четверти периода энергия электрического поля освобождается и возвращается источнику. Электроэнергетический процесс в цепи характеризуется только реактивной мощностью

,

где - емкостная проводимость.

Электрическая цепь при последовательном соединении элементов с r, l и c

R, L, C – это параметры электрической цепи, причем активное сопротивление R характеризует активный (необратимый) процесс преобразования электрической энергии в другие виды энергии, а индуктивность L и емкость C – обратимый процесс преобразования энергии электромагнитного поля.

Под действием напряжения источника питания в цепи возникает ток i. Ток создает падения напряжения на элементах цепи: - на элементе с активным сопротивлением; - на элементе с индуктивностью; - на элементе с емкостью. По второму закону Кирхгофа для данной цепи запишем

или

В результате решения данного уравнения найдем .

Найдем частное решение данного уравнения, то есть ток установившегося режима. Так как правая часть этого уравнения – синусоидальная функция, то и частное решение следует искать в виде синусоидальной функции

.

Функция полностью определена, если известны амплитуда тока I_m и угол сдвига фаз φ между напряжением и током. Найдем эти величины.

Как было показано ранее, напряжение изображается комплексным числом ; ток - комплексным числом ; производная - комплексным числом ; интеграл - комплексным числом .

Перейдем от дифференциального уравнения к алгебраическому уравнению в комплексной форме

.

После преобразования имеем

а разделив обе части уравнения на , получим аналогичное линейное алгебраическое уравнение для комплексных действующих значения:

Коэффициент

является полным сопротивлением цепи в комплексной форме. Вещественная составляющая R полного сопротивления равна активному сопротивлению цепи, а мнимая составляющая X называется её реактивным сопротивлением. Реактивное сопротивление цепи равно разности индуктивного и емкостного сопротивлений:

.

; ,

откуда комплексное полное сопротивление

,

где модуль полного сопротивления

.

Таким образом, модуль полного сопротивления цепи равен отношению модулей действующих значений напряжения и тока, а аргумент комплексного сопротивления – сдвигу фаз φ между векторами напряжения и тока.

Модуль полного сопротивления цепи

то есть, полное сопротивление цепи равно корню квадратному из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений.

Можем найти амплитуду тока, определяющую функцию

.

Теперь, если воспользоваться равенством

,

можно определить угол сдвига фаз φ

.

Таким образом, значение угла φ зависит от соотношения между реактивным X и активным R сопротивлениями. Чем больше реактивное сопротивление, тем больше угол φ. Знак угла φ зависит от соотношения между индуктивным и емкостным сопротивлениями. Если , то угол φ положительный и ток можно определить по формуле , откуда видно, что ток отстает по фазе от напряжения на угол φ. Если , то угол φ отрицательный и ток , то есть опережает по фазе напряжение на угол φ.

На рисунке показано, как изменяются напряжение и ток в цепи с последовательно соединенными активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями при условии :

При построении векторной диаграмм в качестве начального удобно выбрать вектор тока, так как при последовательном соединении ток во всех элементах один и тот же. Как было условлено, начальный вектор совмещаем с положительным направлением мнимой оси (здесь и далее оси обозначать не будем).

Падения напряжения в комплексной форме на участке цепи с активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями соответственно

; ; .

Вектор на участке с активным сопротивлением совпадает по фазе с вектором , и на векторной диаграмме его проводим в направлении тока. Падение напряжения на участке с индуктивностью опережает ток по фазе на угол π/2, причем поворачивать вектор надо против часовой стрелки по отношению к вектору . Падение напряжения на участке с емкостью отстает от тока на угол π/2, причем следует повернуть на угол 90^º по направлению вращения часовой стрелки по отношению к вектору .

По второму закону Кирхгофа можно написать уравнение

.

Для нахождения вектора полного напряжения цепи к концу вектора пристраиваем вектор путем параллельного переноса, а к концу вектора пристраиваем вектор . Вектор полного напряжения соединяет начало координат с концом вектора (последнего слагаемого вектора).

Поскольку векторная диаграмма построена для случая, когда (следовательно, и ), ток в цепи отстает по фазе на угол φ от полного напряжения, комплексное значение которого .