Законы Кирхгофа для электрической цепи синусоидального тока

Для цепей синусоидального тока также справедливы законы Кирхгофа. Но так как синусоидальные величины (ЭДС, напряжение, ток) характеризуются мгновенными, максимальными и действующими значениями, то для каждого из них существуют свои формулировки законов Кирхгофа.

Для мгновенных значений законы Кирхгофа справедливы в алгебраической форме.

Первый закон состоит в том, что алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю:

.

По второму закону алгебраическая сумма ЭДС в контуре равна алгебраической сумме падений напряжений в этом контуре:

.

Для максимальных и действующих значений законы Кирхгофа справедливы только в векторной или комплексной форме.

Согласно первому закону, сумма комплексных токов в узле равна нулю:

.

По второму закону сумма комплексных ЭДС в контуре равна сумме комплексных падений напряжений в этом контуре:

.

Второй закон Кирхгофа может быть сформулирован иначе: сумма мгновенных или комплексных значений падений напряжений на всех элементах контура, включая источники ЭДС, равна нулю:

или .

Электрическая цепь с активным сопротивлением

П усть к зажимам цепи с активным сопротивлением R приложено напряжение источника питания . Для простоты принимаем, что начальная фаза напряжения равна нулю, так как для установившегося режима начальная фаза не имеет никакого значения.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для мгновенных значений напряжения имеем . Решая это уравнение относительно тока i и заменяя u на , получаем

,

причем амплитуда тока в цепи

.

Из предыдущего уравнения видно, что ток в элементе с активным сопротивлением совпадает по фазе с напряжением на этом элементе.

Так как действующие значения напряжения и тока в раза меньше их максимальных значений, то аналогично можно записать , то есть действующие значения синусоидальных напряжений и тока связаны между собой законом Ома так же, как постоянные ток и напряжение.

На векторной диаграмме комплексные значения напряжения и тока в цепи представлены векторами на комплексной плоскости. Начала векторов совмещены с началом координат, длины векторов в соответствующем масштабе равны действующим значениям напряжения и тока. Вещественная ось направлена горизонтально, а мнимая – вертикально. Начальный вектор совмещаем с положительным направлением вещественной оси. Для цепи с активным сопротивлением векторы напряжения и тока совпадают по направлению.

Мгновенное значение мощности цепи синусоидального тока равно произведению мгновенных значений напряжения и тока:

.

Если в цепь приложено напряжение , то в общем случае ток в цепи . Следовательно

После преобразований получим

таким образом, мгновенное значение мощности имеет две составляющие: постоянную , не изменяющийся во времени, и переменную , изменяющийся периодически с частотой 2ω. Вследствие этого мгновенное значение мощности также изменяется с двойной частотой.

При этом мощность положительна, если напряжение и ток совпадают по направлению, и отрицательна, если напряжение и ток имеют разные знаки. Когда мощность положительна, тогда электрическая энергия передается от источника к приемнику и наоборот.

Для количественной оценки электроэнергетических процессов удобнее использовать среднее значение мощности P_ср, которое можно найти, вычислив работу, совершаемую за один период:

откуда

Так как , то , то есть среднее значение мощности равно постоянной составляющей мгновенного значения мощности. Средняя мощность характеризует интенсивность передачи электроэнергии от источника к приемнику и её преобразования в другие виды энергии, то есть активный необратимый процесс. Поэтому среднюю мощность называют активной мощностью и выражают в ваттах, киловаттах, мегаваттах

.

Активная мощность цепи синусоидального тока равна произведению действующих значений напряжения и тока и косинуса угла между их векторами.

Для цепи, состоящей из элемента только с активным сопротивлением R, φ=0 и

.

Напряжение и ток совпадают по фазе, и мгновенное значение мощности всегда положительно. Это указывает на то, что при наличии в цепи только элемента с активным сопротивлением вся электроэнергия преобразуется в тепловую или другие виды энергии. Среднее значение мощности или активная мощность , так как .

Поскольку напряжение на элементе с сопротивлением R , активная мощность цепи может быть определена как

.