Переходные процессы при подключении к источнику синусоидального напряжения цепи с последовательным соединением r и l

Рассмотрим процессы, протекающие в цепи при подключении ее к источнику синусоидального напряжения. В момент включения мгновенное значение синусоидального напряжения источника питания и=U_msin(ωt+ψ). Тогда режим цепи описывается уравнением

Ток переходного режима . При этом установившееся значение тока, найденное как частное решение предыдущего уравнения

где ; ; .

Свободный ток i" находят, решая однородное дифференциальное уравнение :

Следовательно,

Постоянная времени τ не зависит от напряжения источника питания и определяется параметрами цепи. В данном случае τ=L/R.

До включения цепи ток в ней был равен нулю, поэтому для t=0 предыдущее уравнение принимает вид

откуда

Таким образом, ток в цепи в переходном режиме изменяется по закону

Установившийся ток изменяется по синусоидальному закону, а свободный ток – по экспоненциальному закону уменьшается до нуля

В момент включения цепи мгновенные значения токов i' и i" равны по значению, но противоположны по знаку.

В момент времени, когда токи i' и i" совпадают по направлению, мгновенное значение тока в цепи i превосходит амплитуду установившегося тока I_т. Как видно из последней формулы, начальное значение свободного тока зависит от начальной фазы ψ напряжения. Если включение цепи происходит в момент, когда начальная фаза напряжения ψ=φ±π/2, то начальное значение свободного тока равно амплитуде установившегося тока, т. е. имеет наибольшее из возможных значений. Ток в цепи в конце первого полупериода достигнет значения, превышающего амплитуду установившегося тока почти в два раза.

При включении цепи в момент, когда ψ=φ или ψ=φ±π, свободный ток равен нулю и в цепи сразу же устанавливается установившийся режим.

Таким образом, значение тока в переходном режиме зависит не только от параметров цепи R и L, но и от начальной фазы напряжения источника питания. Но в любом случае ток i в цепи в начальный момент времени равен нулю. Длительность переходного процесса определяется постоянной времени τ=L/R. Чем больше τ, тем длительнее переходный процесс, тем больше значение тока i в конце первого полупериода.

Переходные процессы при подключении к источнику синусоидального напряжения цепи с последовательным соединением r и с

Пусть к электрической цепи подведено синусоидальное напряжение, мгновенное значение которого и=U_msin(ωt+ψ).

По второму закону Кирхгофа для данной цепи можно записать

где и_С – напряжение на конденсаторе.

Принимая во внимание, что мгновенное значение тока в цепи , имеем

Поскольку во время переходного режима напряжение на конденсаторе , а свободное напряжение находится при решении однородного дифференциального уравнения как , где τ=RC – постоянная времени цепи, получаем

Для определения установившегося напряжения можно воспользоваться выражением для установившегося тока в цепи при последовательном соединении элементов с R и L, в котором ; ; .

Тогда

Так как до включения цепи конденсатор не был заряжен (и_с=0 при t=0), то из предыдущих двух уравнений

Следовательно,

,

а окончательно напряжение на конденсаторе в переходном режиме

На рисунке показан характер изменения напряжений на конден­саторе, соответствующий рассмотренному случаю.

В момент включения

Поэтому напряжение на конденсаторе при включении цепи нулевое. Скорость протекания переходного процес­а определяется постоянной времени τ=RC.

Изменение напряжения на конденсаторе зависит от начальной фазы ψ. Если в момент включения , то и на зажимах конденсатора сразу же устанавливается установившийся режим. При или начальное значение u_C” является максимальным и в конце первого полупериода при больших τ близко к двойному амплитудному значению установившегося напряжения.

Свободный ток

,

a

В момент включения установившийся ток не равен свободному току ни по значению, ни по направлению.

При начальной фазе свободный ток в момент включения цепи, как и свободное напряжение, равен нулю и в цепи сразу возникает установившийся ток, мгновенное значение которого равно амплитудному значению. Таким образом, в отличие от цепи с последовательным соединением R и L в цепи с последовательным соединением R и С в начальный момент ток имеет любое конечное значение и только в частном случае, когда и , и ток .

Если в момент включения цепи или , то установившийся ток начинает изменяться от нуля, а свободный ток имеет максимальное значение .

Амплитуда установившегося в цепи тока

Поэтому, если X_с>R, начальное значение свободного тока может превышать амплитудное в раз. Это имеет место только при малых значениях С, т. е. при малых значениях постоянной времени. Вследствие этого большой свободный ток может протекать в цепи в течение короткого времени, значительно меньшего периода Т