Переходные процессы при подключении к источнику постоянного напряжения цепи с последовательным соединением элементов с r и l

Все катушки и обмотки электрических аппаратов и машин имеют сопротивление R и индуктивность L. Поэтому исследуемую электрическую цепь, изображенную на рисунке, можно считать эквивалентной схемой индуктивной катушки или обмотки, включаемой на постоянное напряжение.

В начальный момент времени тока в цепи нет и энергия магнитного поля индуктивной катушки равна нулю. После подключения цепи к источнику постоянного напряжения U в установившемся режиме в ней протекает ток I и энергия магнитного поля . Следовательно, в то время, когда происходит изменение энергии магнитного поля индуктивной катушки (от 0 до ), в цепи протекает переходный процесс и существует переменный ток i.

Переходный процесс в такой цепи описывается дифференциальным уравнением (по второму закону Кирхгофа)

Ток в установившемся режиме . Свободный ток i" находят, решая однородное дифференциальное уравнение

Решение этого уравнения ищут в виде

где коэффициент р – корень характеристического уравнения .

Таким образом, , а ток в переходном режиме

Постоянную интегрирования А определяем с учетом первого закона коммутации из начальных условий: при t=0 ток в цепи равен нулю. Получаем .

В результате

Величина имеет размерность времени и называется постоянной времени цепи. Она характеризует скорость протекания переходного процесса. Чем больше τ (больше L), тем дольше протекает ток i" и тем длительнее переходный процесс.

Как видно из рисунка, свободный ток i" при t=0 равен по значению установившемуся току I, но имеет обратное направление. С течением времени этот ток уменьшается до нуля. Общий ток в цепи изменяется от нуля до установившегося значения по экспоненциальному закону. При t=τ i"=е^-1. Это означает, что постоянная времени цепи равна такому промежутку времени, в течение которого свободный ток уменьшается в е раз.

В моменты времени t=kτ значения свободного тока i"=1/e^k и по отношению к значению установившегося тока соответственно составляют (%): 36,00 (при t=τ); 13,50 (t=2τ); 5,00 (t=3τ); 1,80 (t=4τ); 0,67 (t=5τ); 0,25 (t=6τ).

Из этих данных следует, что уже при t=5τ ток в цепи отличается оттока I менее чем на 1%, поэтому его можно считать установившимся.

Падение напряжения на резисторе и_R=Ri изменяется по такому же закону, что и ток. Падение напряжения на индуктивной катушке

т. е. убывает с течением времени от значения напряжения источника питания до нуля.

Переходные процессы при зарядке и разрядке конденсатора

Рассмотрим схему, в которой путем включения переключателя П в положение 1 замыкают источник постоянного напряжения U на конденсатор емкостью С. На обкладках конденсатора начинают скапливаться заряды и напряжение и_с увеличивается до значения, равного U. Это процесс зарядки конденсатора – процесс увеличения энергии электрического поля конденсатора, которая в конце процесса достигает значения CU²/2.

Чтобы зарядить конденсатор до напряжения и_с=U, ему надо сообщить заряд Q=CU, Этот заряд не может быть сообщен мгновенно, так как для этого потребовался бы ток i=dQ/dt=Q/0=∞.

В действительности зарядный ток в цепи ограничен сопротивлением R и в первый момент не может быть больше U/R. Поэтому процесс зарядки конденсатора растянут во времени и напряжение и_с на конденсаторе нарастет постепенно.

Для переходного процесса зарядки конденсатора, включенного по рассматриваемой схеме, можно записать

Ток в такой цепи

Подставляя данное выражение в предыдущее, получим

Найдем напряжение на конденсаторе:

Свободное напряжение и_с” находят, решая однородное дифференциальное уравнение

которому соответствует характеристическое уравнение RCp+1=0, откуда р=-1/(RC). Тогда свободное напряжение

где τ=RC – постоянная времени цепи.

Таким образом, напряжение на конденсаторе в переходном режиме

а ток

причем

,

В предыдущих двух уравнениях постоянную А находят с учетом второго закона коммутации из начальных условий режима работы цепи, которые различны для процессов зарядки и разрядки конденсатора.

Зарядка конденсатора. Рассмотрим конденсатор, который до включения переключателя П в положение 1 не был заряжен. По окончании процесса зарядки напряжение на конденсаторе равно напряжению источника питания U, что следует из уравнения , если учесть, что в установившемся режиме i=i'=0. Таким образом, установившееся напряжение на конденсаторе и_с=U. Постоянную А в уравнении определяют, полагая, что при t=0 и_с=0. Тогда A=-U.

Итак, напряжение в переходном режиме при зарядке конденсатора изменяется по закону

Для определения тока в цепи в необходимо принять i'=0 и А=-U, после чего получим

На рисунке показано изменение тока в цепи и напряжения на конденсаторе при его зарядке. В начальный момент процесса зарядки ток в цепи ограничен только сопротивлением и при малом значении R может достигать больших значений I₀=U/R. Переходный процесс, протекающий при зарядке конденсатора, используют в различных устройствах автоматики, например в электронных реле времени.

Постоянная времени τ=RC характеризует скорость зарядки конденсатора. Чем меньше R и С, тем быстрее заряжается конденсатор.

Разрядка конденсатора. Если переключатель П включить в положение 2, то заряженный до напряжения U_с конденсатор начнет разряжаться через резистор R. Энергия электрического поля конденсатора будет постепенно расходоваться на нагревание резистора и окружающей среды. По истечении некоторого времени установится режим, при котором напряжение на конденсаторе будет равно нулю (конденсатор полностью разряжен), а тока в цепи не будет.

Принимая и_с=0 и находя из начальных условий (при t=0 u_c=U_с) А=U_c, получаем, что напряжение на конденсаторе при разрядке, описываемое формулой

,

а ток в цепи, описываемый формулой , с учетом, что i'=0,

Итак, напряжение и ток убывают по экспоненциальному закону. Ток в цепи отрицательный, т. е. направлен противоположно току во время процесса зарядки. Скорость разрядки конденсатора определяется постоянной времени τ=RC. В начальный момент ток разрядки I₀=U_c/R. Если бы ток оставался постоянным, то конденсатор полностью разрядился бы через t_разр=Q/I₀=CU_C/(U_C/R)=RC=τ.

Поэтому, постоянную времени можно определить как промежуток времени, в течение которого конденсатор полностью зарядился (или разрядился) бы, если бы ток зарядки (или разрядки) оставался постоянным и равным начальному значению U/R (или U_c/R).