16. Оценить по критерию Михайлова устойчивость системы с характеристическим уравнением при

В характеристическом уравнении D(s) = s⁴+5s³ + 3s² + 5s + 2 = 0 заменяем s = jw, снижаем порядок j и группируем

D(jw) = ( jw)⁴ +5( jw)³ + 3( jw)² + 5jw + 2 = -w⁴ +2 – 3w² +5 jw(1 – w²).

Здесь -w⁴ +2 – 3w² – это четная (действительная) функция U(w), а

5w(1 – w²)– это нечетная (мнимая) функция V(w).

Таблица частот

w	U(w)	V(w)
0	2	0
∞	-∞	-∞
0,8	0	1,33
1	-2	0

Приравнивая поочередно четную и нечетную функции нулю, находим частоты

0.8 и 1, соответствующие пересечению кривой с осями координат, подставляем эти частоты в характеристическую функцию и заполняем таблицу. Строим графики четной и нечетной функций – они поочередно пересекают ось частот, т.е. их корни перемежаются, и общее число пересечений равно n = 3, следовательно, система устойчива

17. Оценить устойчивость по критерию Михайлова (форма 2) системы с характеристическим уравнением

заменяем s = jw, снижаем порядок j и группируем

D (jw) = jw⁵ +jw⁴ +6 (jw)³ +6( jw)² + 15jw +15=

= 15-w⁴–6w²+ jw(jw⁴ +6w²+15).

Здесь 15-w⁴–6w²– это четная (действительная) функция U(w), а

jw(jw⁴ +6w²+15)-это нечетная (мнимая) функция V(w).

Система неустойчива, имеет два правых корня

18. Оценить устойчивость замкнутой системы по Михайлову (форма 2), если известно дифференциальное уравнение разомкнутой системы

В характеристическом уравнении D(s) = 0.04s⁴+0,5s³ + 2s² + 10s -4 = 0 заменяем s = jw, снижаем порядок j и группируем

D(jw) = 0,04( jw)⁴ +0,5( jw)³ +2( jw)² + 10jw -4=

= -0,04w⁴-4–2w²+ jw(10 – 0,5w²).

Здесь -0,04w⁴-4–2w²– это четная (действительная) функция U(w), а

jw(10 – 0,5w²)-это нечетная (мнимая) функция V(w).

Таблица частот

w	U(w)	V(w)
0	-4	0
∞	-∞	-∞
2	0	16
4,5	-61	0

П риравнивая поочередно четную и нечетную функции нулю, находим частоты 2 и 4,5, соответствующие пересечению кривой с осями координат, подставляем эти частоты в характеристическую функцию и заполняем таблицу. Строим графики четной и нечетной функций – они поочередно пересекают ось частот, т.е. их корни перемежаются, и общее число пересечений равно n = 3, следовательно, система устойчива

19. Найти запасы устойчивости для системы

Задача не требует построения АФЧХ. По критерию Гурвица следует, что в разомкнутом состоянии система устойчива, нулей нет, поэтому годограф Найквиста проходит два квадранта по часовой стрелке и не пересекает отрицательную действительную полуось. Таким образом, запас по амплитуде максимален Am = 1. Полюса системы действительные, следовательно, резонанс в системе отсутствует и амплитуда вектора |W(jω)| нигде не превышает величины kуст = 1/2, запас устойчивости по фазе равен φМ = 180°.Запас по амплитуде АМ = 1, запас по фазе φМ = 180°.

20. Оценить по критерию Найквиста устойчивость системы после замыкания при Т1 = 5 с, Т2 = 4 с.

Р ешение. Поскольку необходимо оценить устойчивость имеющейся системы,ее предварительно следует сделать разомкнутой – разорвать контур обратной связи по сумматору. Передаточная функция разомкнутой системы W(s) = 1/(5s² -4s+ 1).Блок с коэффициентом усиления 20 стоит вне контура обратной связи и на устойчивость системы не влияет. В разомкнутом состоянии система находится на колебательной границе устойчивости, так как имеет корни s1, 2 = ±j1. Находим комплексный коэффициент передачи разомкнутой системы W(jw) = 1/(1 - w²).Определяем частоты пересечения годографа с осями координат: мнимая часть отсутствует, из уравнения Re(w) = 0 видно, что корни,т.е. частоты пересечения с мнимой осью, отсутствуют. Зато уравнение 1 - w² = 0 дает частоту разрыва характеристики w_р = 1. В подобном случае обычно берут еще две частоты (произвольно) – немного меньше частоты разрыва и немного больше, например, возьмём 0,1 и 10.

З амкнутая система также находится на колебатной границе устойчивости, т.к. АФЧХ проходит через точку (-1, j0).