Оценить прямым методом устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнением
Оценить устойчивость системы прямым методом
Оценить устойчивость системы с помощью критерия Гурвица
Характеристическое уравнение D(s) = s3 + 4s2 + s + 4 = 0.
Проверяем необходимое условие – все коэффициенты характеристического уравнения положительны, что можно кратко записать
как «условие ai > 0 выполняется».Проверяем достаточное условие по определителю Гурвица
∆1 = 4 > 0,
∆2 = 4 – 4 = 0.
Система находится на апериодической границе устойчивости,
т.к. нулевой корень находится на мнимой оси комплексной плоскости корней, а остальные корни лежат справа от мнимой оси.
С помощью критерия Гурвица проверить устойчивость системы, если W1 = 5/(1 + 10s), W2 = –1/s, W3 = 100.
W(s)= -500/(1 + 10s)s
Характеристическое уравнение D(s) = 10s2 + s = 0.
Достаточное условие по определителю Гурвица– все коэффициенты характеристического уравнения положительны, что можно кратко записать
как «условие ai > 0 выполняется», следовательно система устойчива.
Оценить устойчивость системы по критерию Рауса
Необходимое условие ai > 0 выполняется.
|
2 |
0 |
2 |
|
1 |
3 |
3 |
r3 = 2 |
-2 |
-4 |
0 |
r4 = |
2 |
3 |
0 |
r5 = +∞ |
-∞ |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
Проверяем достаточное условие составляем таблицу Рауса: число строк равно числу коэффициентов. Заполняем две первые строки попарно коэффициентами с четными a0, a2, a4 и нечетными a1, a3, a5 индексами. Последний коэффициент an = a5 = 6 смещается вниз и влево ходом шахматного коня (три клетки вниз и одна влево), ниже него записываем нули. Вычисляем вспомогательное число и элементы третьей строки: r3 = с1,1/c2,1 = a0/a1 = 2/1 = 2; откуда с31 = 0 - 1·2 = -2; с32 = = 2 - 3·2 = -4, затем элементы остальных строк.
В первом столбце имеется отрицательное число, следовательно, система неустойчива. Число перемен знака в первом столбце равно четырём, значит система имеет 4 правых корня характеристического уравнения, остальные три корня левые.
Оценить устойчивость системы по критерию Гурвица при
Проверяем необходимое условие – все коэффициенты характеристического уравнения положительны, что можно кратко записать
как «условие ai > 0 выполняется».
Проверяем достаточное условие по определителю Гурвица
∆1 = 1 > 0,
∆2 = 5 – 15 = -10.
Система неустойчива, т.к имеет отрицательный минор.