2. Методика расчета

Решение задачи по определению перемещений, деформаций, усилий и напряжений обычно выполняют в перемещениях. За основную неизвестную принимают функцию прогибов w=w(x,y) [1,2].

Рассматривая условия для сдвигов (3), из соотношений Коши с учётом (8) получают перемещения

(9)

Подставляя в зависимости Коши перемещения (9), находят отличные от нуля деформации

(10)

Далее с помощью закона Гука в обратной форме с учётом равенства (6) получают напряжения в виде функций упругих постоянных E,  и прогиба w(x,y). Пренебрегая объёмными силами и учитывая отсутствие касательных нагрузок на верхней и нижней поверхностях плиты, из дифференциальных уравнений равновесия устанавливают зависимости от E, , w(x,y), h.

Рассматривая элементарные внутренние усилия, действующие на площадке толщиной dz и единичной ширины (см. рис. 3), и интегрируя эти усилия по толщине плиты, приходят к следующим выражениям для погонных

изгибающих моментов:	(11)
крутящих моментов:	(12)
поперечных сил:	(13)

где D – цилиндрическая жёсткость плиты

	(14)
	(15)

E и  – модуль упругости и коэффициент Пуассона, h – толщина плиты.

Выражения для напряжений через внутренние усилия (11)–(13) имеют следующий вид:

	(16)
	(17)
	(18)
где	(19)

- статический момент части сечения высотой и шириной (рис. 4,в).

Эпюры нормальных касательных и напряжений представлены на рис. 4.а, 4.б и 4.в.

Рис. 4а

Рис. 4б

Рис. 4в

Рассматривая равновесие элемента плиты размерами в плане dx, dy под действием распределённой нагрузки q после преобразований придём к дифференциальному уравнению срединной поверхности плиты

(20)

Уравнение (20) называется разрешающим, а функция прогибов w(x,y), удовлетворяющая (20) и условиям на контуре плиты, – разрешающей функцией.

Сформулируем граничные условия для различных случаев закрепления контура прямоугольной плиты (рис. 5).

Рис. 5

Защемленный край (геометрические условия): при x=0 невозможны прогиб и поворот сечения относительно оси x (заданы перемещения)

и

(21)

Свободный край (статические условия): при y=b=const отсутствуют поперечная сила , крутящий и изгибающий моменты (заданы усилия). Вместо необходимых двух имеем три условия, что объясняется приближенностью используемых при решении допущений. Противоречие устраняют, заменив первые два условия требованием равенства нулю обобщённой поперечной силы. В итоге на свободном крае получают следующие два условия:

(22)

Шарнирно опёртые края (смешанные условия): при y=0 или x=a=const прогибы и изгибающие моменты или равны нулю (заданы часть перемещений и усилий). Линии и остаются неизогнутыми, поэтому и , что с учётом (11) приводит к соотношениям

(23)

После того как функция прогибов будет найдена (удовлетворяет уравнению (20) и граничным условиям) все остальные величины вычисляют из выражений (9)÷(13) и (16)÷(19).