МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Расчет прямоугольной плиты

Методические указания

к выполнению расчетной работы и контрольной задачи

для студентов дневной и заочной форм обучения специальности ПГС

по курсу "Прикладная механика"

Воронеж 2011

УДК 539.3:624

ББК 30.121

Составители А.Н. Синозерский, А.В. Резунов, Е.И. Осипова.

Расчет прямоугольной плиты: методические указания к расчетной работе и контрольной задаче по курсу «Прикладная механика»/ Воронеж. гос. арх. – строит. ун-т; сост.: А.Н. Синозерский, А.В. Резунов, Е.И. Осипова. – Воронеж, 2010. – с.

Излагаются гипотезы и методика исследования перемещений, усилий и напряжений тонких плит. Даются указания по определению прогибов, изгибающих и крутящих моментов, поперечных сил, нормальных и касательных напряжений в прямоугольной плите. Приводится пример и решение этой же задачи на ПЭВМ с использованием популярного математического пакета Mathcad.

Предназначены для студентов специальности ПГС дневной и заочной форм обучения.

Ил. 6. Библиогр.: 4 назв.

УДК 539.3:624

ББК 30.121

Печатаются по решению редакционно-издательского совета Воро­нежского государственного архитектурно-строительного университета.

Рецензент – В.Д. Коробкин, канд. техн. наук, доцент кафедры теоретичекой механики ВГАСУ.

Введение

Призматическое или цилиндрическое тело (рис. 1), толщина которого h мала по сравнению с другими габаритными размерами (a, b), называется пластиной

Рис. 1

[1,2]. Они применяются в строительстве, авиации, машиностроении и т. д. При этом легкость и рациональность форм тонкостенных конструкций сочетаются с их высокой несущей способностью, экономичностью и хорошей технологичностью.

Плоскость, делящая пластину пополам по толщине, называется срединной плоскостью, а линия пересечения её с боковыми гранями – контуром.

В строительной практике пластины, подвергающиеся изгибу, именуются плитами [3]. Наиболее распространены рассматриваемые в дальнейшем прямоугольные плиты (с прямоугольным контуром и h=const).

1. Допущения

Оси x, y декартовой прямоугольной системы координат расположим в срединной плоскости, ось z направим вниз (см. рис. 1). Материал плиты будем считать сплошным, однородным, изотропным и подчиняющимся закону Гука с модулем упругости E и коэффициентом Пуассона .

Под действием, например, распределенной по площади нагрузки интенсивности q (кН/м²) точки срединной плоскости получают вертикальные перемещения – прогибы w. Геометрическое место этих точек образует срединную поверхность изогнутой плиты (рис. 2).

Существенное влияние на свойства плиты оказывает толщина h. В дальнейшем рассматриваются только тонкие плиты, для которых выполняются условия

	(1)
	(2)

где r – наименьший габаритный размер,  – наибольший прогиб.

Помимо изложенных выше ограничений теория расчета тонких плит основана на трех гипотезах (допущениях).

Рис. 2

Кинематическая гипотеза: любой линейный элемент (cd на рис. 2), нормальный к срединной плоскости, остаётся прямолинейным и перпендикулярным к срединной поверхности и длина его не изменяется (c₁d₁=cd=h). Следовательно, отсутствуют угловые и линейные, в направлении оси z, деформации

	(3)
	(4)

Так как то прогиб является функцией только двух переменных

w=w(x,y).

(5)

Статическая гипотеза: давлением горизонтальных слоёв плиты друг на друга можно пренебречь, полагая

(6)

Тогда в соответствии с обобщённым законом Гука линейные деформации по осям x, y будут определяться по формулам

(7)

Гипотеза о недеформируемости срединной плоскости: деформации растяжения, сжатия и сдвига в срединной плоскости отсутствуют, а следовательно она является нейтральной. Для точек срединной плоскости перемещения по осям x, y равны нулю

(8)

На рис. 3 на видимых гранях элемента плиты размерами и толщиной h показаны напряжения и погонные (приходящиеся на единицу длины плиты) внутренние усилия, которые следует учитывать при расчёте тонких плит.

Рис. 3. Нормальные и касательные напряжения; внутренние погонные: поперечные силы , изгибающие и крутящие моменты.