1.3 Учёт платёжного обязательства с начислением простых процентов.

Операция начисления простых процентов и дисконтирование по учётной ставке могут совмещаться. Например, в случае платёжного обязательства, предусматривающего начисление простых процентов, сумма, выплачиваемая при учёте обязательства с начислением простых процентов,

,

P₁ – первоначальная сумма ссуды;

n₁ – общий срок платёжного обязательства, срок начисления процентов;

n₂ – срок с момента учёта обязательства до дата погашения долга.

Как правило, n₂<n₁.

Задача:

P₁=10000; i=12%; n₁=120/360; n₂=53/360; d=20%.

P₂ =10⁴ (1+0,12/3)(1+53/360*0,2)=9700*1,04=10088

1.3.1 Наращение по простой процентной ставке

Простая учётная ставка иногда применяется при расчёте наращенной суммы в частности в этом возникает необходимость; при определениисуммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга.

Наращенная суммы в этом случае

.

В этом случае 1/(1-n*d) – множитель наращения. Обратим внимание, что при n > 1/d расчёт не имеет смысла, так как наращенная сумма становится бесконечно большим числом.

Задача:

S - ? d=30% n=53/360

S = 10148

Ответ: 10148

1.3.2. Дисконтирование по сложным годовым учётным ставкам

Дисконтирование по сложной годовой учётной ставке осуществляется по формуле:

d_c – сложная годовая учётная ставка применяется в том случае, если процесс дисконтирования происходит с замедлением, так как на этапе учётная ставка применяется не к первоначальной сумме, а к сумме, меньшей на величину, определённой на предыдущем шаге.

Задача:

Найти дисконтирование при n = 3; S = 5000; d_c = 8%.

P = 5000*(1`-0,08)³ =

D = S – P = 5000*(1 - (1 – 0,08)³)=

Дисконтирование по сложной учётной ставке m раз в году осуществляется следующим образом. В данном случае применяется номинальная учётная ставка.

.

1.3.3 Наращение по сложным учётным ставкам

В ряде случаев наращенная сумма по сложной учётной ставке вычисляется по формуле:

.

1.3.4 Наращение по сложной учётной ставке m раз в году.

В данном случае вычисления выполняются по формуле:

,

где f – номинальная учётная ставка.

Задача:

Найти наращенную сумму долга, если

P = 10⁴; n = 2 года; d = 10%; наращение происходит 4 раза в год.

,

S = 10⁴/1,5⁸=12245.

Ответ: 12245.

Вопросы и задачи:

Задача 1. Ссуда выдана на срок

а) 5 месяцев

б) 3 месяца

под 10% годовых. Определить процентную ставку на срок ссуды.

Ответ: а)4,17%, б)2,5%

Задача 2. Определить проценты, множитель наращения и сумму накопленного долга, если ссуда равна 100 000 руб., срок долга – 2 месяца, номинальная процентная ставка – 10%.

Ответ: S = 101667 руб.

Задача 3. Определить процентный множитель наращения и сумму накопленного долга при ссуде 7 тыс. руб., сроке долга 2 года, номинальной процентной ставке 10%.

Ответ: S = 8400 руб.

Задача 4. Определить сумму вклада, которую нужно положить в банк сроком на 2 месяца под 10% годовых, чтобы к концу срока получить 10667 руб.

Ответ: P = 100 000 руб.

Задача 5. Определить сумму вклада, которую нужно положить в банк сроком на 2 года под 10% годовых, чтобы к концу срока получить 8400 руб.

Ответ: P = 7000 руб.

Задача 6 Клиент внёс вклад в банк в сумме 1000 руб. сроком на 1 год. Процентная ставка до середины второго квартала составляла 30% годовых, далее до конца третьего квартала – 25%, а с начала четвёртого квартала – снова 30% годовых. Какую сумму получит клиент в конце года?

Ответ: S = 1281,25 руб.

Задача 7. В какую сумму обратится долг в 10 000 руб. через 5 лет при росте по годовой процентной ставке 5,5% с ежегодной капитализацией процентов. Определить сумму процентов.

Ответ: S = 13070 руб., I = 3070 руб.

Задача 8. Определить наращенную сумму вклада в 10 000 руб., если номинальная годовая процентная ставка не зависит от числа периодов в году и составляет 50% годовых, а начисление производится

а) раз в год

б) раз в квартал

с) раз в месяц

Ответ: а) S = 15000 руб., б) S = 16018,1 руб., с) S = 16320,9 руб.

Задача 9. На условиях задачи 13 найти эффективные процентные ставки.

Ответ: а) ie = 50%, б) ie = 60,18%, c) ie = 63,21%

Задача 10. Определить, какое помещение денег на срок 6 месяцев выгоднее:

а) под простую ставку в 30% годовых

б) под сложную ставку в 29% годовых с ежеквартальной капитализацией процентов?

Ответ:

а) ie = 32,25%, M = 1,15

б) ie = 32,31%, M = 1,1503

Второй вариант чуть выгоднее.

Задача 11. При эффективной процентной ставке ie = 60% найти минимальные процентные ставки, соответствующие начислению процентов:

а) один раз в квартал

б) один раз в месяц

в) один раз в неделю

г) один раз в день

Ответы: а) i⁽⁴⁾ = 49,87%, б) i⁽¹²⁾ = 47,93%, в) i⁽⁵²⁾ = 47,21%, г) i⁽³⁶⁵⁾ = 47,03%

Задача 12. Первоначальная сумма долга равна 100 000 руб. Определить сумму S, подлежащую возврату, и сумму процентов I через 2,5 года, используя точный и приближённый способ начисления процентов, исходя из процентной ставки 50% годовых.

Ответ: точный способ

S = 275 568 руб., I = 175 568 руб.

Приближённый способ

S = 281 250 руб., I = 181 250 руб.

Задача 13. Клиент сделал вклад в банк в сумме 1000 руб. под 30% годовых до середины второго квартала, 25% годовых до начала четвёртого квартала и далее снова 30% годовых. При каждой смене ставки проценты капитализировались. Какую сумму клиент получил в конце года

Ответ: S = 1308,057 руб.

Задача 14. Кредит выдаётся на полгода по годовой учётной ставке 30%. Определить сумму, получаемую заёмщиком, и величину дисконта, если сумма долга равна 50 тыс. руб.

Ответ: Р = 42,5 тыс. руб., Д = 7,5 тыс. руб.

Задача 15. Владелец векселя на сумму 100 000 руб. учёл его в банке за 2 месяца до срока погашения по годовой учётной ставке 20%. Определить учётную стоимость векселя, т.е. сумму, которую получил владелец при учёте векселя.

Ответ: Р = 9,667 тыс. руб.

Задача 16. Определить простую ставку процентов для контракта сроком на 4 месяца, если сумма долга равна 100 тыс. руб., а сумма, подлежащая возрасту, – 110 тыс. руб.

Ответ: i = 0,3 (30%).

Задача 17. Вексель на сумму 110 тыс. руб. выдан сроком на 4 месяца.

Определить простую учётную ставку, если полученная под вексель сумма равна 100 тыс. руб.

Ответ: d = 0,2727 (27,3%)

Задача 18. За какой срок сумма, равная 100 тыс. руб. достигает значения 130 тыс. руб. при росте. Ставка сложных процентов 24% в год. Базисное количество дней в году (k) = 365, в месяце – 30.

Ответ: необходимый срок равен Т = 429 дней.

Задача 1 9. Контракт предусматривает погашение обязательств в сумме 150 тыс. руб. через 1,5 года. Первоначальная сумма долга – 100 тыс. руб. Необходимо определить доходность контракта в виде ставки сложных процентов.

Ответ: i = 0,31.