5.3.4 Метод искусственного базиса
При расчете с помощью симплексных таблиц часто удобнее пользоваться так называемым М-методом, или методом искусственного базиса. Он заключается в следующем.
В каждое уравнение, дающее отрицательную компоненту в базисном решении, вводим свою новую неотрицательную искусственную переменную у1, у2, ..., уk, которая имеет тот же знак, что и свободный член в правой части уравнения. В первой таблице включаем в число основных все искусственные переменные и те обычные добавочные переменные, которые определяют неотрицательные компоненты базисного решения. Составляем новую линейную функцию Т = F - М (у1 + y2 + ... + уk), где М -произвольно большое число, и ищем ее максимум (Т-задача). Назовем М-функцией выражение М (у1 + y2+„.+ yk). Справедлива следующая теорема (доказательство здесь не приводится):
1. Если в оптимальном решении Т-задачи все искусственные переменные равны нулю, то соответствующие значения остальных переменных дают оптимальное решение исходной задачи (т.е. Tmax = Fmax , если у1 = y2= ...= yk = 0, т.е. минимум М-функции равен нулю).
2. Если имеется оптимальное решение Т-задачи, в котором хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна.
3. Если Tmax = , то исходная задача также неразрешима, причём либо Fmax = , либо условия задачи противоречивы.
Из теоремы следует, что вначале необходимо найти минимум М-функции. Если он равен нулю и все искусственные переменные обращаются в нуль, то далее можно отбросить эти переменные и решать исходную задачу, исходя из полученного допустимого базисного решения. На практике находят не минимум М-функции, а максимум (–М)-функции.
Пример. Решить М-методом следующую задачу, используя симплексные таблицы,
F = x1 + 2x2 max
при ограничениях:
Решение. Введём необходимое число искусственных переменных и столько же дополнительных строк в симплексные таблицы.
Имеем
F = x1 + 2x2 max
при ограничениях:
Х1 = (0; 0; -1; 3; 5) – недопустимое базисное решение с одной отрицательной компонентой, поэтому в первое уравнение введём искусственную переменную у1 с тем же знаком, что и свободный член:
Составляем первую симплексную таблицу (таблице 5.3.5).
Таблица 5.3.5
Базис |
Свободный член |
Переменные |
Оценочные отношения |
|||||
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|||
y 1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
y4 |
3 |
-1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
y5 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
F |
0 |
-1 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
max |
Mф |
М |
-М |
-М |
М |
0 |
0 |
М |
max |
Последняя строка – это (-М)-функция, т.е. (Мф)у1. Заполняем её, умножая строку у1 на коэффициент (-М). Проверяя выполнение критерия оптимальности при отыскании максимума (-М)-функции, определяем, что в последней строке имеется отрицательный элемент во втором столбце, значит, он является разрешающим. Переменная х2 переходит в основные. Минимальное оценочное отношение находится в первой строке, она - разрешающая. Переменная у1 переходит в неосновные, обращается в нуль на следующем базисном решении и далее исключается из рассмотрения.
В соответствии с общим алгоритмом получаем таблицу 5.3.6.
Таблица 5.3.6
Базис |
Свободный член |
Переменные |
Оценочные отношения |
||||
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|||
x2 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
|
x4 |
2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
x5 |
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
F |
2 |
-3 |
0 |
-2 |
0 |
0 |
max |
-Mф |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
max |
Последняя строка показывает, что критерий оптимальности выполнен; max (Мф) = 0, значит, min Мф = 0, далее эту строку можно не рассматривать. Получено допустимое базисное решение (0; 1; 0; 2; 3).