Принцип сложения

Принцип сложения. Если элемент А можно выбрать из некоторого множества m способами, а другой элемент B – n способами, причём выборы А и В таковы, что взаимно исключают друг друга и не могут быть выбраны одновременно, то выбор какого-либо одного из этих элементов (либо А, либо В) можно осуществить (m+n) способами.

В качестве иллюстрации данного принципа рассмотрим следующий простой пример.

Пример 4. Пусть из города A в город B можно добраться одним авиамаршрутом, двумя железнодорожными маршрутами и тремя автобусными маршрутами. Сколькими способами можно добраться из города A в город B?

Решение. Все условия принципа сложения здесь выполнены, поэтому, в соответствии с этим принципом, получим 1+2+3=6 способов.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий различие принципов умножения и сложения.

Пример 5. В магазине электроники продаются три марки телевизоров и два вида видеомагнитофонов. У покупателя есть возможности приобрести либо телевизор, либо видеомагнитофон. Сколько способами он может совершить одну покупку? Сколько различных комплектов, содержащих телевизор и магнитофон, можно приобрести в этом магазине, если покупатель собирается приобрести в паре и телевизор, и видеомагнитофон?

Решение. Один телевизор можно выбрать тремя способами, а магнитофон – другими двумя способами. Тогда телевизор или магнитофон можно купить 3+2=5 способов.

Во втором случае один телевизор можно выбрать тремя способами, после этого видеомагнитофон можно выбрать двумя способами. Следовательно, в силу принципа умножения, купить телевизор и видеомагнитофон можно 32=6 способами.

Замечание. Обычно принцип сложения применяется в тех случаях, когда в задачах встречаются союзы «или», «либо, либо» (телевизор или видеомагнитофон), а принцип умножения – в задачах, содержащих союз «и» (телевизор и видеомагнитофон).

Рассмотрим теперь примеры, в которых применяются оба правила комбинаторики: и принцип умножения, и принцип сложения.

Пример 6. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает либо яблоко, либо апельсин, после чего Надя выбирает из оставшихся фруктов и яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов?

Решение. Ваня может выбрать яблоко 12 способами, апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает яблоко, то Надя может выбрать яблоко 11 способами, а апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает апельсин, то Надя может выбрать яблоко 12 способами, а апельсин – 9 способами. Таким образом, Ваня и Надя могут сделать свой выбор способами.

Пример 7. Есть 3 письма, каждое из которых можно послать по 6 адресам. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. В данной задаче мы должны рассмотреть три случая: а) все письма рассылаются по разным адресам, б) все письма посылаются по одному адресу, в) только два письма посылаются по одному адресу. Если все письма рассылаются по разным адресам, то число таких способов легко находится из принципа умножения: n1=654=120 способов. Если все письма посылаются по одному адресу, то таких способов будет n2=6. Таким образом, остается рассмотреть только третий случай, когда только 2 письма посылаются по одному адресу. Выбрать какое-либо письмо мы можем 3 способами и послать его по какому-либо выбранному адресу можем 6 способами. Оставшиеся два письма мы можем послать по оставшимся адресам 5 способами. Следовательно, послать только два письма по одному адресу мы можем n3=365=90 способами. Таким образом, разослать 3 письма по 6 адресам в соответствие с принципом сложения можно

n1+n2+n3 = 120+6+90 = 216 способами.

Задача. Сколькими способами можно выбрать одну гласную или одну согласную букву из слова "здание".

Решение. В слове "здание" 3 гласных буквы и 3 согласных. Гласные буквы можно выбрать 3 способами, согласные тоже 3 способами. Гласную или согласную букву: 3+3=6 способами.

Ф АКТОРИАЛ

Для любого натурального числа n произведение обозначается n! (читается «эн факториал»), т.е.

Считается, что 0!=1.

Пример 3.1. Вычислить

.

Решение. Так как и , то

.

Поскольку

и ,

то

.

Поэтому

.

Пример 3.2. Упростить выражение

(n1).

Решение. Так как и , то

.

Пример 3.3. Решить уравнение

, где n1.

Решение. Так как , то

.

Кроме того, . Итак, исходное уравнение равносильно уравнению

.

Если n=1, то уравнение примет вид

,

т.е. получается противоречие 0=1/6, следовательно, n=1 не является решением уравнения. Если n2, то уравнение примет вид

,

т.е. . Отсюда получаем n1=2 и n2=3.

Выражение n! означает, что перемножаются все натуральные числа подряд и наибольший из сомножителей равен n. Выражение n!! означает, что перемножаются натуральные числа через одно и наибольший сомножитель также равен n. Таким образом, если n чётное, то n!! есть произведение всех чётных чисел, не превышающих n ( ); если же n нечётное, то это произведение всех нечётных чисел, не превышающих n ( ). Аналогично, если после числа расположено три восклицательных знака, то перемножаются каждое третье число, а если четыре – каждое четвёртое. Например, .

Упражнения

3.1. Вычислить: а) , б) .

Ответ: а) , б) .

3.2. Упростить: а) , б)

Ответ: а) , б) m+2.

3.3. Найти все натуральные n, удовлетворяющие условию .

Ответ: 8.

3.4. В забеге участвуют 5 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места в результате забега?

Ответ: .