3.1.0Бщие правила комбинаторики

Второе правило, называемое правилом произведения, несколько сложнее. Часто при составлении комбинации из двух элементов известно, сколькими способами можно выбрать первый элемент, и сколькими способами второй, причем число способов выбора второго элемента не зависит от того, как именно выбран первый элемент. Пусть первый элемент можно выбрать m способами, а второй n способами. Тогда пару этих элементов можно выбрать m*n способами. Иными словами:

Если объект А можно выбрать т способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить m*n способами.

Задача. Сколькими способами можно выбрать одну гласную и одну согласную буквы из слова "здание".

Решение. В слове "здание" 3 гласных буквы и 3 согласных, следовательно, получаем 3*3=9 способов выбора гласной и согласной букв.

Принцип умножения

При решении комбинаторных задач используются два правила: принцип умножения и принцип сложения.

Принцип умножения. Если элемент А можно выбрать из некоторого множества m способами и если после каждого такого выбора элемент B можно выбрать n способами, то пара элементов (А,В) в указанном порядке может быть выбрана (mn) способами.

Пример 1. Из пункта А в пункт В ведут 3 дороги, а из пункта В в пункт С – 4 дороги. Сколькими способами можно совершить поездку из А в С через В?

Решение. В пункте А есть 3 способа выбора дороги в пункт В, а в пункте В есть 4 способа попасть в пункт С. Согласно принципу умножения, существует 34=12 способов попасть из пункта А в пункт С.

Принцип умножения легко обобщается на случай выбора трех и более элементов.

Пример 2. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если: а) цифры не повторяются; б) повторение допустимо; в) числа должны быть нечетные и без повторения.

Решение. а) Первую цифру можно выбирать 5-ю способами. Так как в числе цифры не повторяются, то вторую цифру уже можно выбрать из четырех оставшихся 4-мя способами. Далее получаем, что третью цифру можно выбрать 3-мя способами и четвертую – двумя. Таким образом, число возможных четырехзначных чисел равно N=5432=120.

б) Так как повторения допустимы, то каждую цифру можно выбирать каждый раз из 5 имеющихся цифр, т.е. пятью способами. Тогда число возможных чисел равно N=5555=54=625.

в) У нечетного числа последняя цифра нечетная, т.е. в данном случае может быть либо 1, либо 3, либо 5. Поэтому на это место можно поставить любую из этих трех чисел. После этого на оставшиеся места можно поставить: четыре цифры, три цифры и две цифры, ибо никакие из пяти цифр нельзя использовать более одного раза. Таким образом, N=3432=72.

Комбинаторные задачи бывают самых различных видов. Но большинство задач решается с помощью двух основных правил - правила суммы и правила произведения.

Часто удается разбить все изучаемые комбинации на несколько классов, причем каждая комбинация входит в один и только один класс. Ясно, что в этом случае общее число комбинаций равно сумме чисел комбинаций во всех классах. Это утверждение называют правилом суммы.

Если некоторый объект А можно выбрать т способами, а другой объект В можно выбрать п способами, то выбор <либо А, либо В> можно осуществить т+п способами