2.3. Законы булевой алгебры

переместительныи (коммутативный):

а)х+у=у+х; b)ху=ух;

сочетательный (ассоциативный):

с) (x+y)+z=x+(y+z); d) (x+y)z=xz.+yz ;

распределительный (дистрибутивный):

e) (x+y)z=xz+yz; f) xy+z==(x+z)(y+z);

Тождества булевой алгебры

2.4. Составление логической формулы по заданной таблице

Методы алгебры логики широко применяются при проектировании технических устройств, моделировании социальных процессов. Однако редко удается построить техническую схему или описать социальное явление непосредственно с помощью логической формулы. Обычно на первом этапе используется словесное описание решаемой задачи, на основании которого удается составить таблицу, связывающую численные значения входных и выходных логических переменных. Переход от таблицы к логической формуле является вторым этапом синтеза модели в рамках категорий алгебры логики.

Рассмотрим пример моделирования мнения большинства некоторой группы респондентов по вопросу социальной удовлетворенности.

Вопрос следующий: Как вы считаете, когда человек чувствует себя спокойно - если у него есть или нет денег и если у него есть или нет автомобиля.

Положительный результат был получен в случаях: нет автомобиля и нет денег; нет автомобиля, но есть деньги; есть автомобиль, и есть деньги.

Неудовлетворительный ответ был получен, когда нет денег, но есть автомобиль.

Обозначим через х - автомобиль, через у - деньги и составим таблицу полученных высказываний

x	y	q
0	0	1
1	0	0
0	1	1
1	1	1

По таблице легко определиться с логической формулой проведенного опроса:

выбираем высказывания, которые соответствуют положительному результату и присваиваем ему статус истинного, т.е. 1. Получаем формулу:

q =

Воспользовавшись тождествами математической логики, формулу можно упростить:

q= =

Следовательно, общее мнение опрошенных можно свести к следующему: более менее человек себя чувствует спокойно в случае, если у него нет автомобиля, но есть деньги.

Приведенный пример свидетельствует о том, что по словесному описанию задачи можно построить в терминах алгебры логики модель в виде булевой формулы, при возможности минимизации привести ее к более простому виду. В дальнейшем, в случае необходимости, построить по полученной математической модели ее эквивалент в алфавите логических технических устройств и использовать в практическом приложении.

2.5. Упрощение булевых формул

Для упрощения булевых формул используются тождества математической логики. Существуют некоторые стандартные приемы, которые в большинстве случаев позволяют успешно проводить упрощение сложных формул.

Упрощение булевой формулы следует начинать с отыскания одной из следующих форм:

где А и В означают или сами логические переменные или логические произведения нескольких переменных. Каждое из полученных выражений можно записать в более простом виде:

При упрощении логических формул следует всегда иметь ввиду тождество А+А=А, из которого следует, что каждое из слагаемых можно использовать в комбинациях с другими слагаемыми неоднократно.

Когда дальнейшее упрощение формулы с помощью известных тождеств не удается, следует проверить - не содержит полученная формула лишних слагаемых. При этом слагаемое будет называться лишним, если на любом из наборов переменных, на котором оно обращается в единицу, в единицу же обращается какая-либо группа других слагаемых. Так, например, в формуле

q=xy +x + уz

слагаемое х и у обращается в единицу на наборе х=1, у=1. При этом сумма двух других слагаемых дает

Таким образом, слагаемое ху является лишним и его можно исключить из формулы, что дает окончательно

2.6. Задачи для практики

1. Записать высказывания на языке логики с помощью логических связок:

а) Идет дождь или кто-то выключил душ.

б) Если вечером будет туман, то Сергей или останется дома, или должен будет взять зонт.

в) Петр сядет, и он или Сергей будет ждать.

г) Ни Север, ни Юг не победил в гражданской войне.

д) Если я устал или голоден, я не могу заниматься.

е) Если Маша встанет и пойдет в школу, она будет довольна, а если не встанет, она не будет довольна.

ж) Если мыши живут на Марсе, а мыши, читающие Фолкнера, говорят по-английски, то мыши не живут на Марсе.

2. Пусть С = «Сегодня ясно», R = «Сегодня идет дождь», S = «Сегодня идет снег», Y = «Вчера было пасмурно». Перевести на русский язык следующие высказывания:

а) C(RS);

б) YC;

в) Y(CR);

г) YRC.

3. Составить таблицы истинности для следующих высказываний:

а) P(PQ);

б) (PQ)  PQ;

в) P(QR);

г) (P QR)(PQ)/