2.1. Простые и составные высказывания

Будем обозначать высказывания строчными буквами латинского алфавита и каждому из них приписывать условные значения 1 и 0 в зависимости о того, является ли высказывание истинным или ложным. Пусть, например, х означает высказывание «он отличник». Его численные значения равны:

1, если х истинно, т.е. х X;

X=

 0, если х ложно, т.е. х Х.

Высказывания х, у, z, которым соответствуют простые множества истинности X, Y, Z, называются простыми высказываниями. Однако множеством истинности может оказаться множество Q, получаемое из множеств X, Y, Z, посредством какой-либо алгебраической операции над этими множествами. При этом множеству истинности Q будет соответствовать высказывание q, называемое составным высказыванием. Например, множеству истинности Q=ХУ, обладающему свойством Х (отличник), так и свойством Y (проживает в общежитии), будет соответствовать составное высказывание «он отличник и проживает в общежитии».

В данном случае мы получили составное высказывание, связав два высказывания союзом <и>. Можно было бы получить составное высказывание, использовав другие связки: <или>, <если-то> и т.п. Из одного высказывания можно получить новое, отрицая его. Каждому из этих новых высказываний будут соответствовать свои множества истинности на универсальном множестве I, а значит составные высказывания также могут быть истинными или ложными, т.е. принимать численные значения 1 и 0.

Рассматривая высказывания как величины, принимающие значения 1 и 0, можно определить над ними операции, которые позволяют из данных высказываний получать новые. Эти операции и будут выражать упомянутые выше связи, употребляемые в обычной речи.

Операции, производимые над высказываниями, называются логическими операциями. Совокупность рассматриваемых далее логических операций получила название алгебры высказываний или булевой алгеброй.

2.2. Алгебра высказываний

а) отрицание

Пусть х - высказывание, множеством истинности которого является X.

Отрицание можно обозначать по-разному: . Обозначим через (читается <не х>) новое высказывание, имеющее множеством истинности и называемое отрицанием X.

Пусть, например, А = «Завтра пойдет дождь».Что значит «НЕ (Завтра пойдет дождь)»: «Дождь пойдет не завтра», «Завра пойдет не дождь», «Завтра не пойдет дождь»? Здравый смысл подсказывает, что отрицанием высказывания А является третье предложение.

Отрицанием высказывания А называтся такое высказывание, которое принимает значение ложно, если высказывание А истино, и значение истино, если высказывание А ложно.

б) логическое сложение

Пусть х и у - высказывания, имеющие множествами истинности Х и Y соответственно. Обозначим через х+у (иногда пишут xvy и читают х или у) новое высказывание, имеющее множеством истинности XY и называемое логической суммой или дизъюнкцией х и у.

Дизъюнкция –это высказывание, которое получается из двух данных высказываний А и В с помощью союза «или». Допускается дизъюнкция любых, самых далеких по смыслу высказываний: «Дважды два – четыре или Париж – столица Англии». Дизъюнкция АВ истинна, когда истинно по крайней мере одно из высказываний А и В или оба вместе. Другими словами, дизъюнкция ложна в том и только в том случае, когда оба высказывания ложны.

В нашем примере: А – дважды два – четыре; В – Париж – столица Англии. А –истинно; В – ложно (т.к. Париж – столица Франции), однако АВ – истинно.

Логическое сложение удобно записать в виде правил, несколько напоминающих правила обычного арифметического сложения:

0+0=0; 1+0=1;

0+1=1; 1+1=1.

Правило логического сложения легко распространяется на случай трех и более высказываний.

в) логическое умножение

Пусть х и у - высказывания, имеющие множествами истинности Х и Y соответственно. Обозначим через ху (иногда пишут ху и читают х и у) новое высказывание, имеющее множеством истинности XY и называемое логическим произведением или конъюнкцией х и у.

Конъюнкция – это высказывание, которое получается из двух данных высказываний А и В с помощью союза «и»:

«Сегодня четверг и Шекспир – это группа авторов».

Конъюнкция АВ высказываний А и В истинна в том и только в том случае, когда оба высказывания истинны. В нашем примере: А – сегодня четверг, В – Шекспир – это группа авторов. А – ложно, В – ложно, следовательно АВ – ложно.

Это соотношение можно представить в виде правил логического умножения, совпадающих с правилами арифметического умножения:

0*0=0; 0*1-0;

1*0=0; 1*1=1.

Правила логического умножения легко распространяются на случай трех и более высказываний.

г.) Булевые функции

Операции отрицания, логического сложения и логического умножения представляют собой некоторые функции о логических переменных. Особенность этих функций состоит в том, что они могут принимать, как и отдельные высказывания, только два значения 0 и 1.

Функции, у которых как аргументы, так и сами функции могут принимать только два различных значения, называются булевыми функциями.

Важно подчеркнуть, что все булевы функции от двух логических переменных могут быть представлены с помощью трех рассмотренных ранее логических операций: отрицания, логического сложения, логического умножения.

д) Импликация

Импликация образуется из высказываний А и В с помощью слов «если … то…». Получается высказывание вида «если А, то В». Напомним, что математическая логика носит формальный характер, содержание высказываний она не занимается. Так, импликация может связывать далекие по смыслу высказывания:

«Если функция f взаимно однозначна, то красный конь купается»;

«Если 2+2=5, то 3+3=10»;

«Если Аннушка пролила масло, то будет дорожное происшествие».

На примере импликации хорошо видна разница между обычным языком и языком логики. В обычном языке сложное предложение «если А, то В» предполагает между А и В отношение посылки и следствия или же причины и обусловленного ею действия, как например, в таком предложении: «Если заточить карандаш, то можно нарисовать дом». В логике импликация связывает любые два высказывания.

Импликация обозначается АВ, при этом говорят: «А влечет В» или «В при условии, что А», «В, если А», «А есть достаточное условие для В», «В есть необходимое условие для А»

Договорились, что импликация АВ, ложна в том и только в том случае, когда высказывание А истинно, а высказывание В ложно. Такое определение подсказано здравым смыслом: разумно считать импликацию истинной, если В истинно, независимо от значения А; если оба участника импликации ложны, импликация, естественно, также истинна. В единственном случае, когда «предпосылка» импликации истинна, а»вывод» ложен, импликация считается ложной.

11, импликация истинна; 01, импликация истинна; 00, импликация истинна; 10, импликация ложна.

Например, следующие три импликации истинны:

«Если 7 – простое число, то 2*2=4»

«Если 8 – простое число, то 2*2=4»

«Если 8 – простое число, то 2*2=5»

А импликация ««Если 7 – простое число, то 2*2=5» по определению ложна.

е) Эквиваленция

Эквиваленция образуется из высказываний А и В с помощью слов «…тогда и только тогда, когда …»:

«Треугольники подобны тогда и только тогда, когда их углы совпадают»;

«Луна – живое существо тогда и только тогда, когда Маккартни поет колыбельную».

Подчеркнем, что утверждение «А тогда и только тогда, когда В» не означает в логике, что составляющие высказывания А и В имеют один и тот же смысл.

Эквиваленция обозначается АВ. Синонимы для эквиваленции: «если А, то В, и если В, то А», «А в том и только в том случае, когда В», «А есть необходимое и достаточное условие для В», «В есть необходимое и достаточное условие для А». Разумное определение эквивалентности: эквиваленция истинна в том и только в том, когда высказывания А и В имеют одинаковое значение истинности (либо оба истинны, либо оба ложны). Поэтому следующие эквиваленции истинны:

«7 – простое число тогда и только тогда, когда 2*2=4» (истина  истина);

«8 – простое число тогда и только тогда, когда 2*2=5» (ложь  ложь).

Новые высказывания (отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация и эквиваленция) образуются из существующих высказываний с помощью операций, или логических связок, имеющих также названия. Логические связки удобно определять с помощью таблиц истинности составляющих высказываний и указывается соответствующее значение истинности высказывания, полученного в результате действия логической операции:

отрицание дизъюнкция конъюнкция

А	А		А	В	АВ		А	В	АВ
1	0		1	1	1		1	1	1
0	1		1	0	1		1	0	0
			0	1	1		0	1	0
			0	0	0		0	0	0

импликация эквиваленция

А	В	АВ		А	В	АВ
1	1	1		1	1	1
1	0	0		1	0	0
0	1	1		0	1	0
0	0	1		0	0	1

Логические связки позволяют из простых высказываний получить новые, сколь угодно сложные высказывания. Рассмотрим пример:

«Если завтра будет дождь или снег, то я возьму зонт и надену пальто или свитер». Введем обозначения:

А= «завтра будет дождь»; В= «завтра будет снег»; С= «я возьму зонт»; Д= «я надену пальто»; Е= «я надену свитер».

Тогда наше предложение можно записать в виде (АВ)  (С(ДЕ)).

В логике как и в арифметике, операции делятся по старшинству. Это позволяет при записи сложных высказываний избегать большого количества скобок. Порядок выполнения операций таков: приоритет имеет отрицание, затем конъюнкция, следующая связка – дизъюнкция, и наконец, на одном уровне – импликация и эквиваленция. Поэтому составленное выше высказывание можно записать короче: АВ  С(ДЕ). Одной пары скобок не избежать т.к. СДЕ непонятно.

Два сложных высказываний (из еще называют составными формулами) применяют также таблицы истинности, где перебираются все возможные значения истинности составляющих высказываний (элементарных формул, простых компонент, т.е. таких высказываний, которые нельзя представить как результат действия логических операций). Такая таблица содержит 2ⁿ, где n – количество простых компонент.

Например, составим таблицу истинности для высказывания (АВ)(В ):

А	В	С	АВ	С	ВС	(АВ)(ВС)
1	1	1	1	0	0	0
1	1	0	1	1	1	1
1	0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	1	1	1
0	1	1	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1	1
0	0	1	0	0	1	0
0	0	0	0	1	1	0

Высказывание содержит три простые компоненты А, В, С, поэтому в таблице 2³=8 строк.

Законы и тождества алгебры высказываний

Выражения, построенные из конечного числа логических переменных, знаков логического сложения, логического умножения и логического отрицания называются булевыми формулами.

Каждая булева формула может рассматриваться как представление некоторой булевой функции от переменных x,y,z..., значение которой на конкретном наборе переменных легко получить, если подставить значения переменных на этом наборе (0 или 1) в булеву формулу и произвести указанные логические операции.

Для алгебры высказываний справедливы тождества, аналогичные тождествам алгебры множеств, например:

xy+z=(x+z)(y+z),

которое, как отмечалось выше, не справедливо в обычной алгебре.

По аналогии законам и тождествам алгебры множеств отметим основные законы и тождества математической логики.