Свойства размещений и перестановок

Рассмотрим задачи, связанные со свойствами размещений и перестановок.

Пример 1. Вычислить

.

Решение. Поскольку

и

,

то

.

Пример 2. Упростить выражение

(n  6).

Решение. Поскольку

, ,

,

,

то

.

Пример 3. Решить неравенство

.

Решение. Из условия задачи следует, что n1 и n. Поскольку

, ,

то

и данное в условии неравенство равносильно неравенству

.

Пусть n2, тогда , т.е. 20<15. Противоречие, следовательно, n=1 не является решением данного неравенства.

Пусть n=1, тогда исходное неравенство равносильно следующему

,

Отсюда следует, что первоначальное неравенство имеет три решения:

n1=3, n2=4 и n3=5.

3.4.Сочетания

Встречаются задачи, в которых нет необходимости рассматривать порядок, в котором располагаются элементы.

Пусть опыт состоит в выборе k элементов без возвращения и без упорядочения из некоторого множества, содержащего n элементов. Исходами такого опыта будут подмножества, содержащие k элементов и отличающиеся друг от друга только составом. Получаемые при этом комбинации элементов называются сочетаниями.

Сочетаниями из n элементов по k элементов называются такие комбинации, из которых каждое содержит k элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Из этих трёх элементов, в отличие от размещений, можно составить три сочетания по два элемента: ab, ac, bc, ca. Все приведённые сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Для иллюстрации различий между сочетаниями и размещениями рассмотрим следующий пример. Пусть выбирается делегация в составе 3 человек из 30 учеников. Здесь, очевидно, не надо учитывать порядок выбранных делегатов, т.к. все члены делегации равноправны. Поэтому каждый такой выбор будет сочетанием из 30 по 3. Однако, выбирая старосту, профорга и физорга из тех же учеников, порядок уже приходится учитывать. В этом случае каждый конкретный результат будет уже размещением из 30 по 3.

Найдем число возможных сочетаний . Чтобы получить размещение из n элементов по k, а их число равно , надо выбрать k элементов из множества, содержащего n элементов, что можно сделать способами, и организовать из них упорядоченное подмножество. Последнюю операцию можно выполнить Pn способами. Таким образом, чтобы получить размещений, надо выполнить две операции, которые можно осуществить и Рn способами, соответственно. Поэтому, согласно принципу умножения, можно записать

. (7.1)

Отсюда получаем, что число сочетаний будет равно

. (7.2)

Заметим, что , .

Пример 1. Сколькими способами можно составить комиссию в составе из трех человек из имеющихся 9 человек, 4 женщин и 5 мужчин, если: а) не важен пол членов комиссии; б) комиссия должна состоять из двух женщин и одного мужчины.

Решение. а) Из смысла задачи следует, что порядок выбора членов комиссии не играет роли. Здесь важен только состав. Тогда выбрать комиссию из трех человек из 9 имеющихся можно

способами.

б) Двух женщин из 4 имеющихся можно выбрать способами, а одного мужчину из 5 можно способами. Тогда общее количество способов выбора комиссии, в соответствии с принципом умножения, можно

способами.

Пример 2. Сколькими различных правильных дробей можно составить из чисел 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, берущихся попарно?

Решение. Различных пар из данных чисел, в которых первый элемент меньше второго, будет, очевидно, столько, сколько можно составить сочетаний из 7 по 2:

.

Пример 3. Сколько существует делителей числа 210?

Решение. Разложим данное число на простые множители: . Число делителей, составленных из произведения двух простых множителей, равно (а именно числа 6, 10, 14, 15, 21,35); число делителей, составленных из произведения трёх простых множителей, равно (а именно числа 30, 42, 70, 105); число простых делителей равно четырём (а именно 2, 3, 5, 7). Кроме того, делителями являются число 1 и число 210. Итак, согласно принципу сложения, число всех делителей равно

.

Эту задачу можно решить и по-другому. Натуральное число N можно разложить на простые множители следующим образом:

,

α₁, α₂, …, α_n – некоторые натуральные числа. Число pi может войти в данный делитель с показателем 0, 1, …, n – всего n+1 способами. Из принципа умножения получаем, что число делителей числа N равно

. (3)

Для числа 210 число делителей по формуле (3) будет равно (1=2=3=4=1)

2222=16.

Определение: комбинации, составленные из k элементов, взятых из n данных элементов (0<k n), отличающиеся друг от друга составом элементов, называются сочетаниями из n элементов по k элементов.

Задача 5. В полуфинале первенства России по шахматам участвует 20 человек, а в финал выходят лишь трое. Сколько различных комбинаций по три шахматиста можно получить в данном случае?

В данной задаче не играет роли в каком порядке расположатся в тройке шахматисты: Иванов, Петров, Сидоров или Петров, Иванов, Сидоров, лишь бы попасть в тройку!

В тех случаях, когда нас не интересует порядок моментов в комбинации, а интересует лишь ее состав, говорят о сочетаниях. Итак, k-сочетаншми из п элементов называют всевозможные k-расстановки, составленные из этих элементов и отличающиеся друг от друга составом, но не порядком элементов. Число к сочетаний, которые можно составить из n элементов, обозначают через C^k_n.

Применяя формулу, легко решить задачу, рассмотренную выше. Число различных исходов полуфинала шахматного первенства дается формулой

См. задача 1. Если в решении задачи убрать комбинации АА, ББ, ВВ, ГГ, ДД и комбинации с одними и теми же символами: например, АБ, БА, то получим число сочетаний из n элементов по k:

АА, АБ, АВ, АГ, АД

БА, ББ, БВ, БГ, БД

ВА, ВБ, ВВ, ВГ, ВД

ГА, ГБ, ГВ, ГГ, ГД

ДА, ДБ, ДВ, ДГ, ДД