3.3.Перестановки

Рассмотрим частный случай, когда k=n. Соответствующее этому случаю размещение называется перестановкой.

Перестановками из n элементов называются такие комбинации, каждая из которых содержит все n элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.

Поясним это на следующем примере. Из этих трёх элементов: a, b и c. можно составить шесть перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Все приведённые перестановки отличаются друг от друга только порядком их расположения.

Число перестановок n различных элементов обозначают символом Pn и равно

Пример 1. Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?

Решение. Будем считать выделенные книги за одну книгу. Тогда уже для шести книг существует P₆=6!=720 перестановок. Однако четыре определенные книги можно переставить между собой P₄=4!=24 способами. По принципу умножения имеем

P₆P₄ = 72024 = 17280.

Пример 2. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра в изображении числа встречается один раз?

Решение. Рассматриваемое число может быть представлено как некоторая перестановка из цифр 0, 1, 2, 3, в которой первая цифра отлична от нуля. Так как число перестановок из четырех цифр равно P₄=4! и из них 3! перестановок начинаются с нуля, то искомое количество равно

4! – 3! = 33! = 3123 = 18.

Пример 3. Сколькими способами можно посадить за круглый стол n мужчин и n женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

Решение. Естественно предположить, что как мужчины, так и женщины различимы. Предположим также, что места за столом также различимы. Пронумеруем их. Если женщины займут чётные места n! способами, то мужчины будут занимать нечётные места тоже n! способами и наоборот. По правилу умножения получаем .

Если места за столом неразличимы, то стол можно поворачивать на одно место, то при этом расположение сидящих не изменится (такая ситуация имеет место, например, на карусели). Поскольку имеется n способов расположения стола относительно сидящих, то предыдущий результат нужно разделить на n.

Вопрос. Сколькими способами можно посадить за круглый стол n супружеских пар, если супруги должны сидеть рядом?

При составлении размещений без повторений из n элементов no k мы получали расстановки, отличающиеся друг от друга и составом, и порядком элементов. Но если брать расстановки, в которые входят все n элементов, то они могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов. Такие расстановки называют перестановками из п элементов, или просто п-перестановками.

Число n-перестановок обозначают через P_n. Формула для Р_n сразу получается из формулы для числа размещений без повторений.

P_n=A^k_n=n*(n-1)*…*2*1=n!.

Таким образом, чтобы узнать, сколько перестановок можно составить из n элементов, надо перемножить все натуральные числа от 1 до n. Это произведение обозначается n! (читается n-факториал). Таким образом,

P_n=n!=1*2*…*n

Определение: комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга лишь порядком следования элементов, называются перестановками из n элементов.

Задача. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, имея в наличии материал трех цветов.

Решение. Флаг представляет собой три сшитые полосы материала разного цвета. Следовательно, если в этой комбинации поменять цвета местами, то получим другой флаг, отличный от первого. Всего можно получить Р₃=3!=1*2*3=6 различных флагов.